7.設F(x)為一實係數多項式且F'(x)=f(x)。已知f'(x)>x2+1.1對所有的實數x均成立，試選出正確的選項。
(A)f'(x)為遞增函數
(B)f(x)為遞增函數
(C)F(x)為遞增函數
(D)[f(x)]2為遞增函數
(E)f(f(x))為遞增函數
【leonyo】評論
(i)如果在某一個區間(a,b)上f'(x)>0恆成立，則f(x)在(a,b)上遞增。在本題中，因為f'(x)>x^2+1.1>0對所有實數x均成立，所以f(x)在整個實數上都是遞增的，故(B)正確。(ii) 「若a>b，則f(a)≧f(b)」則是遞增函數的定義，我們已經知道f(x)是遞增函數，因此若a>b，則f(a)≧f(b)；若f(a)≧f(b)，則f(f(a))≧f(f(b))。以上推論滿足遞增函數的定義，故f(f(x))也是遞增函數，(E)正確。至於(A) 反例：取f'(x)=x^2+2就不是遞增函數。(C) 反例：取F'(x)=f(x)=(1/3)x^3+2x，並不恆大於0，故F(x)不是遞增函數。(D) 反例：取f(x)=(1/3)x^3+2x，則[f(x)]^2不是遞增函數。