【柯韋安】評論

我們可以使用多項式展開式來計算 f(x) 在 x=0 處的第 2021 階導數。首先，我們有以下多項式展開式：ln(1 + x) = Σ[n>=1] (-1)^(n+1) (x^n / n)其中 Σ[n>=1] 表示從 n=1 開始的無限求和，也就是：Σ[n>=1] (-1)^(n+1) (x^n / n) = (-1)^2 (x^2 / 2) + (-1)^3 (x^3 / 3) + (-1)^4 (x^4 / 4) + ... + (-1)^(2022) (x^2022 / 2022) + ...我們可以將上式簡化為：Σ[n>=1] (-1)^(n+1) (x^n / n) = Σ[n>=2] (-1)^(n+1) (x^n / n)注意到我們只需要計算 x=0 處的第 2021 階導數，因此我們只需要計算上式中的 x^2021 / 2021 的係數。係數的計算方式為，找到能整除 2021 的所有 n，然後計算每個 n 對應的係數，再將它們相加。因為 2021 是質數，所以只有 n=2021 時才有非零係數。係數的計算方式與多項式展開式中每一項的形式有關。在這個多項式展開式中，每一項都具有形如 (-1)^n (x^n / n) 的形式。如果我們想要計算 f(x) 在 x=0 處的第 k 階導數，我們需要找到這個多項式展開式中所有形如 x^k / k 的項，然後將它們的係數相加，即為 f^(k)(0)。在這個問題中，我們需要計算 f(x) 在 x=0 處的第 2021 階導數，即需要找到這個多項式展開式中所有形如 x^2021 / 2021 的項，然後將它們的係數相加。因為 2021 是質數，所以只有當 n=2021 時，x^n / n 才會成為一項，也就是說只有當 n=2021 時，這一項的係數才不為零。因此我們只需要計算這一項的係數，即 (-1)^(2022) (1/2021)。因此，x^2021 在上式中的係數為：(-1)^(2022) (1/2021)注意到 (-1)^(2022) = 1，因此係數為 1/2021。因此，f(x) 在 x=0 處的第 2021 階導數為：f^(2021)(0) = 2021! * (1/2021) = 2020!故本題答案為(C)。