教甄數學專業

25. 試求橢圓 x² + 4y² – 2x – 12y+6=0 以 (2,2) 為中點之弦方程式的斜率。 (A)(B)(C)(D)

26. 設 A(2,-1) 與 B(-1,5) 為平面上的二定點, L:x-y+2=0 為平面上的一定線, 若點 M 為直線 L 上的一動點, 當 |MA-MB| 為最大值時 M 的座標為 (a,b)

27. 令 x =, 求 4x⁵ + 12x⁴ + 2x³ + 16x² + 10x + 5 =? (A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 7

28. 若實數 a, b, c 滿足 a - 3b =及 = −1, 求 ab + c =? (A) -2 (B) -1 (C) 0 (D) 1

29. 設 a₁ 為正整數,= ai + 1, i = 1, 2, 3, …, n −1, 已知= 1000, 滿足此條件時, n 為最大值為 r, 令(a, b 互質), 求 a + b 的值為多少

30. 設 a 為正實數, 若= 18, 求=? (A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 12

31. 令= x + y, 0 ≤ y ＜ 1, x 為整數, 求=? (A)(B)(C)(D)

32. △ABC 中, 已知 AB = 2, BC = 6, ∠ABC = 60°, 在 AC 線上取一點 D, 使得 BD 為 ∠ABC 的角平分角線, 則 BD 的長最接近下列何數? (A) 2

33. 令= [logn], n 為正整數, 求的值為多少? ([x]: 表示不大於 x 的最大整數) (A) 149 (B) 151 (C) 249 (D) 252

34. 設 f(x) = , 而 f(x) 的最大值為 a, 最小為值 b, 求 a+b 之值為何? (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 12

35. 若實數 a, b, c 滿足 a + 2b + 4c = 0 且 a² + 4b² + 16c² - 6 = 0, 則 b² - 4b + 3 的最小值為何? (A) -1 (B) 0 (C)

36. 設 M 為 △ABC 中內部的一點, 而三角形三頂點座標分別為 A(3, −1), B(2, 5), 及 C(−1,3), 若 △MAB, △MBC, △MCA 的面積比為 3: 2: 1,

37. 若= 1, = 2, = 3 且, 則=? (A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 12

38. 當 x = r 時, 有最小值 s, 求 6r + s =? (A) 5 (B) 6 (C) 8 (D) 10

39. 若有整數解, 求 k 的可能值有幾個? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

40. 設 M 為正整數且 10000 ≤ M ≤ 99999, 已知 M 的數字和為 12, 求這樣的 M 共有多少個? (A) 1330 (B) 1340 (C) 1420 (D) 1440

41. 令 P =, 而 P 的百位數字為 a, 十位數字為 b, 個位數字為 c, 求 a + b + c 之值為何? (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8

42. 袋中有 2 個紅球, 3 個白球, 及 4 個黃球, 若每次從袋中隨機取出一球且取後不放回, 則紅球先被取完的機率為(a, b 互質), 求 b − a 之值為何? (A) 20 (B) 23

43. 設 M 為 △ABC 的內心, ∠B 的角平分線交 AC 於點 Q, 若 AQ + AB = BC 且 AB = 3, BC = 5, 求 AM 的長為何? (A)(B)(C) 2 (D) 2

44. 在正方形 ABCD 的 BC 邊上取一點 P, 及 CD 邊上取一點 Q, 使得 ∠PAQ = 45°, 若正方形 ABCD 的面積: △APQ 的面積 = 5:2, 則 AB = kPQ,

45. 設 ABCD 為邊長 1 單位的正方形, 點 E, F 分別在 BC 及 CD 邊上, 使得 △AEF 為正三角形, 求 AE 為多少單位長? (A)(B)(C)(D)

46. 四邊形 ABCD 中, 若 ∠B = ∠D = 90°, ∠DAB = 60°, BC = 1, CD = 2, 則對角線 AC 長的平方為(a, b 互質), 求 a + b 之值為何? (

47. x == a + b, -x = c + d, 設 a, c 均為整數且 0 ≤ b, d ＜ 1, 求 b³ + d³ + 3bd =? (A) 0 (B) 1 (C)(D)

48. 設 a₁ ＜ a₂ ＜ a₃ ＜ … ＜ a₈ 為 8 個正整數, 已知, 求 2a₂ + a₇ =? (A) 18 (B) 19 (C) 20 (D) 21

49. 設實數 a, b, c, d 滿足, 求 2a + b + 2c + d =? (A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6

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