【評論主題】(15) is convergent.(A)O(B)X

【評論內容】<Solution>9

【評論主題】(14).sin(-x)=sinx(A)O(B)X

【評論內容】<Solution>0sin(-x) = -sinx  =>sin(x) ia an odd functionAnswer：(B) false

【評論主題】(13). sin2x =(1 + cos2x)(A)O(B)X

【評論內容】<Solution>0sin2x=(1/2)(1-cos(2x))Answer：(B) false

【評論主題】(12). If f'(c) = 0 or fail to exist then f(c) is a relative extrema.(A)O(B)X

【評論內容】<Solution>3 If f'(c) = 0   exist and f"(0)=0point (c,f(c)) is an inflection pointnot relative extrema point.Answer：(B) false

【評論主題】(15)is convergent. (A)O(B)X

【評論內容】<Solution>9

【評論主題】(14)sin (-x)=sin x.(A)O(B)X

【評論內容】<Solution>0sin(-x) = -sinx  =>sin(x) ia an odd functionAnswer：(B) false

【評論主題】(13).(1+ cos2x)(A)O(B)X

【評論內容】<Solution>0sin2x=(1/2)(1-cos(2x))Answer：(B) false

【評論主題】(12). If f'(c) = 0 or fail to exist then f(c) is a relative extrema.(A)O(B)X

【評論內容】<Solution>3 If f'(c) = 0   exist and f"(0)=0point (c,f(c)) is a inflection pointsnot relative extrema.Answer：(B) false

【評論主題】(11).(A)O(B)X

【評論內容】<Solution>3d/dx(5x)=d/dx(exln(5))=exln(5)[(d/dx)(xln(5))=exln(5)[ln(5)]Answer：(B) false

【評論主題】3. 是非題(每小題四分)(11)(A)O(B)X

【評論內容】<Solution>3d/dx(5x)=d/dx(exln(5))=exln(5)[(d/dx)(xln(5))=exln(5)[ln(5)]Answer：(B) false

【評論主題】(15) is convergent.(A)true(B)false

【評論內容】<Solution>9

【評論主題】(13)sin2x=(A)true(B)false

【評論內容】<Solution>0sin2x=(1/2)(1-cos(2x))Answer：(B) false

【評論主題】(14)sin(-x) = sinx(A)true(B)false

【評論內容】<Solution>0sin(-x) = -sinx  =>sin(x) ia an odd functionAnswer：(B) false

【評論主題】3.是非題(11)(A)true(B)false

【評論內容】<Solution>3d/dx(5x)=d/dx(exln(5))=exln(5)[(d/dx)(xln(5))=exln(5)[ln(5)]Answer：(B) false

【評論主題】6.考慮多項式函數f(x)=x5+2x4-x3-5x2+3 ，試問以下哪些選項是正確的？(A) (k為正整數)；(B) ；(C)函數f在區間 遞增；(D)若x≥0 ，則f(x)≥0 ；(E)在坐標平

【評論內容】<Solution>   (95年 數學甲)V先前分析：f(x)=x5+2x4-x3-5x2+3一、f'(x)=5x4+8x3-3x2-10x=x(x-1)(5x2-13x+10)二、x=0 &1時 有極值三、f"(x)=20x3+24x2-6x2-10------------------------------------------------------(A) (k為正整數)=>False<Solution>limx->∞{f(k)/f(k+100)}limx->∞{[k5+2k4-k3-5k2+3]/(k+100)5+..........}=1_______(Answer)------------------------------------------------------(B) =>Truelimx->1 {f(x)-f(1)}/(x-1)=f'(1)=0 -----------------------------------------------------(C) 函數f在區間遞增=>False∵f"(1)>0 =>凹口向上-----------------------------------------------------(D) 若x≥0 ，則f(x)≥0=>True∵f"(1)>0 =>凹口向上，且x=1時f(1)=0 (局部極小值)--------------------------------------------------------(E)在坐標平面上f(x)與直線y＝3恰有兩個交點=>True∵f(0)=3  f'(0)=0，y=3剛好與f(x)相切於點(0,3)Answers：(B)(D)(E)

【評論主題】7. 設f'(x)表示實係數多項式函數f(x)的導函數，已知y=f'(x)的圖形是一個通過點(1，0)和點(2，0) 且開口向上的拋物線。試問下列哪些選項是正確的？(A)f(x)一

【評論內容】<Solution>   (97年 數學甲)V先前分析：一、y=f'(x)的圖形是開口向上的拋物線        =>f'(x)=二次函數 且 f"(1<x<2)>0 二、f'(x)的圖形是一個通過點(1,0)和點(2,0)       =>f(x)在x=1 or 2有極值       ∵f'(1)=f'(2)=0-------------------------------------------------------(A) f(x)一定是三次多項式=>True      ∵f'(x) 為拋物線(二次多項式)-----------------------------------------------------(B) f (x) 在 1<x<2 的範圍內必為遞增=>False∵f(2)&f(1)均為極值 在1<x<2 =>f'(x)<0故，應該是遞減-----------------------------------------------------(C) f(x)一定恰有兩個極值=>True∵f'(2)=f'(1)=0-----------------------------------------------------(D) f(x)=0一定有三個實根=>FalseIf f(2)>0f(x)只有一實根-----------------------------------------------------(E) f(x)=0在1≤x≤2的範圍內一定有實根=>False∵f(1)>f(2)>0，則在1≤x≤2的範圍內f(x)=0沒有實根Answers：(A)(C)

【評論主題】1. 坐標平面上x2+xy+y2=1的圖形和4xy=1的圖形的關係是(A)相離(B)交於一點(C)交於兩點(D)交於四點

【評論內容】<Solution>   (93年 數學甲 補考)V先前分析：一、求焦點 =>兩組方程式共同解---------------------------------------------------<sol>y=1/4xx2+xy+y2=1x2+(1/4)+(1/16x2)=116x4-12x2+1=0 ----------------------------------------------------Let u=x216u2-12u+1=0 u=3±√5/8 =>u有兩解u=x2=>x=±√(3±√5)/2√2=>∴ x 有四解(交點)=>共有四個交點____(Answer)Answer：(D) 交於四點Here is the figure↓↓↓

【評論主題】6.考慮多項式函數f(x)=x5+2x4-x3-5x2+3 ，試問以下哪些選項是正確的？(A) (k為正整數)；(B) ；(C)函數f在區間 遞增；(D)若x≥0 ，則f(x)≥0 ；(E)在坐標平

【評論內容】<Solution>   (95年 數學甲)V先前分析：f(x)=x5+2x4-x3-5x2+3一、f'(x)=5x4+8x3-3x2-10x=x(x-1)(5x2-13x+10)二、x=0 &1時 有極值三、f"(x)=20x3+24x2-6x2-10------------------------------------------------------(A) (k為正整數)=>False<Solution>limx->∞{f(k)/f(k+100)}limx->∞{[k5+2k4-k3-5k2+3]/(k+100)5+..........}=1_______(Answer)------------------------------------------------------(B) =>Truelimx->1 {f(x)-f(1)}/(x-1)=f'(1)=0 -----------------------------------------------------(C) 函數f在區間遞增=>False∵f"(1)>0 =>凹口向上-----------------------------------------------------(D) 若x≥0 ，則f(x)≥0=>True∵f"(1)>0 =>凹口向上，且x=1時f(1)=0 (局部極小值)--------------------------------------------------------(E)在坐標平面上f(x)與直線y＝3恰有兩個交點=>True∵f(0)=3  f'(0)=0，y=3剛好與f(x)相切於點(0,3)Answers：(B)(D)(E)

【評論主題】7. 設f'(x)表示實係數多項式函數f(x)的導函數，已知y=f'(x)的圖形是一個通過點(1，0)和點(2，0) 且開口向上的拋物線。試問下列哪些選項是正確的？(A)f(x)一

【評論內容】<Solution>   (97年 數學甲)V先前分析：一、y=f'(x)的圖形是開口向上的拋物線        =>f'(x)=二次函數 且 f"(1<x<2)>0 二、f'(x)的圖形是一個通過點(1,0)和點(2,0)       =>f(x)在x=1 or 2有極值       ∵f'(1)=f'(2)=0-------------------------------------------------------(A) f(x)一定是三次多項式=>True      ∵f'(x) 為拋物線(二次多項式)-----------------------------------------------------(B) f (x) 在 1<x<2 的範圍內必為遞增=>False∵f(2)&f(1)均為極值 在1<x<2 =>f'(x)<0故，應該是遞減-----------------------------------------------------(C) f(x)一定恰有兩個極值=>True∵f'(2)=f'(1)=0-----------------------------------------------------(D) f(x)=0一定有三個實根=>FalseIf f(2)>0f(x)只有一實根-----------------------------------------------------(E) f(x)=0在1≤x≤2的範圍內一定有實根=>False∵f(1)>f(2)>0，則在1≤x≤2的範圍內f(x)=0沒有實根Answers：(A)(C)

【評論主題】1. 坐標平面上x2+xy+y2=1的圖形和4xy=1的圖形的關係是(A)相離(B)交於一點(C)交於兩點(D)交於四點

【評論內容】<Solution>   (93年 數學甲 補考)V先前分析：一、求焦點 =>兩組方程式共同解---------------------------------------------------<sol>y=1/4xx2+xy+y2=1x2+(1/4)+(1/16x2)=116x4-12x2+1=0 ----------------------------------------------------Let u=x216u2-12u+1=0 u=3±√5/8 =>u有兩解u=x2=>x=±√(3±√5)/2√2=>∴ x 有四解(交點)=>共有四個交點____(Answer)Answer：(D) 交於四點Here is the figure↓↓↓

【評論主題】6. 以下何者是正確的敘述?(A)一個連續的函數必定是可微分(B)在黎曼和(RiemannSum)的計算中,我們必須選取矩形底邊△x的左端點,若選取中點或右瑞點則所求出的黎曼和會有不同的極限值(C)微

【評論內容】(A)結論顛倒了。應該是可微分必定連續，反例：f(x)=|x|，在x=0時，連續但不可微(B)極限值相同(D)Mean Value Therem假設函數(1)f(x) 在[a,b]間皆連續且               (2)在(a,b)區間皆可微分(可導)                (3)存在一數c在(a,b)內，使得f'(c)={f(b)-f(a)} / (b-a)}                    =>意即割線斜率{f(b)-f(a)} / (b-a)}                        在區間內的必找到相同的切線斜率f'(c)

(C) 正確，積分 為 微分的反運算，故可找之。(請參閱教科書"不定積分(積分技巧)"部分..........

【評論主題】4.請問以下何者是正確的敘述?(A)雙變數函數圖形中可能出現的鞍點為一理論值,在自然界中沒有對應的例子存在(B)我們可以用根號函數 與自然對數函數Inx形容經濟學的效用函數(UtilityFuncti

【評論內容】

Answer：(B) ------因為其餘皆錯，各項說明如下

【評論主題】2. lim(x,y )→(0,0) =(A) 2 (B) 1 (C)0 (D) ㆀ

【評論內容】

Let x=r cos(x) and y=r sin(x)

then lim(x,y )→(0,0) =limr→0{2r3cos(x)sin2(x)/r2} =limr→0{2r*cos(x)sin2(x)}= 0Answer : (C)

【評論主題】8. 下列敘述何者正確：(A) 若函數f(x)為奇函數，則 。(B) 若函數g(x)為偶函數(even function)，則 。(C) 承A、B，則 。(D) 承 ，若f(x)為一可導函數，則其導

【評論內容】

Answers:(A)(B)(C)

(A)For continuous odd functions such that f(−x)=−f(x),f(−x)=−f(x),

∫a−af(x)dx= 0

【評論主題】7. 下列何者為奇函數(odd function)：(A) sin(x) (B) x3(C) 0 (D) (sin x)2

【評論內容】A function f is said to be an odd function if -f(x) = f(-x), for all value of x .(A) sin(-x) = -sin (x) =>odd function(B) (-x)3 =-(x)3=>odd function

(C)0=>contants

(D)  (-sin x) 2 =(-1)2(sin x) 2= (sin x) 2 =>even functionAnawers：(A)(B)

【評論主題】5. 若一級數 (A)O(B)Xan不存在。

【評論內容】

級數收斂，數列必收斂

數列收斂，級數未必收斂

惟，級數發散，數列必發散

若要兩者選一項，應該是(B)

EX:數列 {an}={1,1,1,1,1,1,1,1............}->每項都是1的數列，數列收斂為 1 (恆唯一)

     但當n->無限大 時，加總也無限大

【評論主題】3. 考慮一個一元函數f(x)，若此函數於某點為可導函數，則此函數於該點必定可微。(A)O(B)X

【評論內容】

(B)

此函數於某點為可導函數，則此函數於該點必定可微

但在該點連續，卻未必在該點可微分

EX:f(x)=|x|，在x=0時 連續，但不可微分

【評論主題】1. 若一函數於某點可導(differentiable)，則該函數於該點連續(continuous)，反之亦成立。(A)O(B)X

【評論內容】

此函數於某點為可導函數(differentiable) ，則該函數於該點連續(continuous)=>到目前為止正確

但在該點連續，卻未必在該點可微分=>反之則未必

EX:f(x)=|x|，在x=0時 連續，但不可微分

Answer:(B)