【評論主題】9. 下列算式何者錯誤？(A) (－5)4×(－5)3＝(－5)7 (B) 117÷113＝114 (C) (3×6)5＝35×65 (D) (92)3＝95
【評論內容】
D
說明:
★★★★★★★★
(9<☆☆p>2)<☆☆p>3=9<☆☆p>(2☆3)=9<☆☆p>6
(9...
【評論主題】8. 下列各式何者正確？(A) (B) (C) (D)
【評論內容】
B
說明: 七年級的方法
(A) 等號左式(3+1/2)(-2/3)
等號右式3+(1/2)(-2/3), 由左到右, 先乘除後加減。等號不成立。
(B) 等號左式=等號右式=(3+1/2)(-2/3)。等號成立。
(C) 由左到右的乘除順序
等號左式=5x(15/17)x(2/15)
等號右式=5x(17/2)x(2/15)。左式與右式不相等。
(D) 同前項原理，等號不成立。
【評論主題】7. 若 ，則A－B＝？(A) 12(B) －12(C) 24(D) －24
【評論內容】
D
說明:
10=2x5>>除5乘2後可得4
-15除5再乘2後得 (-15/5)x2=-6=A
15=3x5>>除5乘9後可得27
10除5乘9後得(10/5)x9==B
A-B=-6-18=-24
【評論主題】2. x＝10×11×12×……×18×19×20，則下列何者不是 x的質因數？(A) 7 (B) 11(C) 13(D) 23
【評論內容】
D
說明:
☆=10☆11☆12☆...☆20
★★★，...
【評論主題】3. 漩渦明仁將電腦的開機密碼設定成一個四位數abcd，且這四個數字隱藏在1800＝2a×b2×cd的標準分解式中，則漩渦明仁的密碼是幾號？(A) 3532(B) 3352(C) 5233(D) 53
【評論內容】
B
說明: 先修正題目, ☆★★★
1800＝2<☆☆p>☆×☆...
【評論主題】4. 已知22×3與2×32的最大公因數為a，最小公倍數為b，則a＋b＝？(A) 42 (B) 48 (C) 84(D) 222
【評論內容】
A
說明:
★★★★★，★★★★★★★★★★, ...
【評論主題】5. 甲數＝(63 , 231)，則甲數所有正因數的和為多少？(A) 4 (B) 8 (C) 32(D) 36
【評論內容】
C
說明:
甲數是兩數的最大公因數, 而甲的所有正因數的和, 就是甲的各組因數加總。
標準分解式求甲:
63=32x7,
231=3x7x11
(63,231)=3x7=21=甲
甲的所有正因數: 1,3,7,21
21=1x21=3x7
正因數的和: 1+3+7+21=32
【評論主題】4.若a＝80，b＝48，且(a，b)＝〔a，b〕÷k，則 k＝？ (A) 15 (B) 25 (C) 35 (D) 45。
【評論內容】
(80,48)=[80,48]k
80=16☆5, 48=16☆3
...
【評論主題】9.一長方體木塊，長為36公分、寬為24公分、高為 15 公分，將外表塗滿黃漆後，切成大小相同的正方體，所切成最少的小正方體中，任一面均無黃漆的有多少塊？ (A) 480 (B) 180 (C) 36
【評論內容】
(36,24,15)=(22x32, 23x3, 3x5)=3=最大公因數
36/3 x 24/3 x 15/3= 12x8x5
沒有黃色漆, 即往內一塊, 三邊的數量為10x6x3=180
選B
【評論主題】7.把大小相同的正方形紙片拼成矩形。當她有 6 張紙片時，她有兩種拼法 。當她有 12 張紙片時，她有三種拼法： ，則下列哪一種數量的紙片，她只能有一種拼法？ (A) 91 (B)247 (C)
【評論內容】
矩形面積=長x寬的概念
6=1x6 or 2x3
12=1x12, 2x6 or 3x4
只有一種, 即為質數
91=13x7
247=79x3
187=11x17
103質數
選D
【評論主題】5.鹿港國中今年新生人數在 600～650 人之間，新生報到當天發現若 5 人分一組剩 1 人，7 人分一組剩 3 人，9人分一組不足4人，則新生報到當天共有多少位新生？ (A) 315 (B) 31
【評論內容】
分組的最小公倍數[5,7,9]=315
新生人數600~650, 則公倍數為315x2=630
九人一組不足4人, 新生=626人
五人一組剩下1人, 新生626/5=125...1,成立
七人一組剩下3人, 新生626/7=89...3, 成立
選D
【評論主題】3.已知 ，則 a、b、c、d 的大小順序為何？ (A) a＞c＞d＞b (B) a＜b＜c＜d (C) c＞a＞b＞d (D) c＞a＞d＞b
【評論內容】
底數為負數
則偶次方&☆☆;★★★
★★★0~1...
【評論主題】2.下列選項中所表示的數，哪一個與588的最大公因數為 42 ？ (A) 2×3×52×72 (B) 2×3×5×72 (C) 2×32×52×7 (D) 22×32×5×7。
【評論內容】
(X, 588)=42
588=4☆147=4☆7☆21=2<☆☆p>2☆3☆7<☆☆p>2
...
【評論主題】1. 已知72＝□×△，其中□和△都是正整數，則□＋△的值不可能是下列何者？(A) 72(B) 38(C) 27(D) 17
【評論內容】
A
說明:
□＋△★★★72★★★★★★★★★
...
【評論主題】1. 若a為奇數，則下列何者不一定為奇數？(A) a2 (B) a+2 (C) 2a+1 (D) 3a+3 。
【評論內容】
D不是奇
(A) 奇x奇=奇
(B) 奇+偶=奇
(C) 偶+1=奇
(D) 奇+奇=偶 。 3a+3=3(a+1)=3奇=奇
【評論主題】1. 已知有A點、B點和圓O，若圓O的直徑為10，且 ，請問B點與圓O的位置關係為 (A)在圓內 (B)在圓上 (C)在圓外 (D)都有可能。
【評論內容】
C
說明:
圓的半徑=10/2=5
OA=8, A在圓外3cm處
AB=根號5, 小於3,B未進入圓,
故B在圓外
【評論主題】1.試問4m2－m可以等於下列哪一個式子？(A)（4－1）m(B)（4－1）m2(C)m（4m－0）(D)m（4m－1）。
【評論內容】
(D)
說明: 項與項之間的公因數, 應對乘法分配律。
此數學式有兩項, 每一項都有因數m。提公因數
4m2-m=m(4m-1)
【評論主題】12.如圖(九),梯形AEFD中, , =5公分, =10公分,且平行四邊形ABCD面積是45平方公分,下列敘述何者正確? (A) =1:2 (B) BCFE 面積=90 (C)△CDF 面積=22.
【評論內容】
【等高的面積 比=底邊比】
1. 平行四邊形ABCD面積=45，△ABG面積=22.5=△ADG面積
2. AD=BG=5, BG: EF= 5: 10= 1: 2, 面積比=平方比=1: 4
△AEF面積=△ABG面積x4=22.5x4=90
3. AC: CF= 1: 1，△CDF面積=△ADG面積=22.5
(C)
【評論主題】11.如圖(八), 為樹高, 為樹的影子長,瓔珞站在樹前20公D點的位置。已知 =10公尺, =16公尺,瓔珞的身高為175公分。若瓔珞想完全站在陰影底下,則至少須往樹的方向移動多少公尺才不會曬到太陽
【評論內容】
【相似形的對應線段關係比例相等】
1. AB: 1.75= BC: X (X=樹影內的人影長)
10: 1.75= 16: X, X=1.75(16)/10=2.8
2. 原樹影外的距離=20-16=4
向樹移動的距離=4+2.8=6.8=68/10=34/5
(A)
【評論主題】10.如下圖,將一個大三角形剪成一個小三角形及一個梯形。若梯形上、下底的長分別為6、14,兩腰長為12、16,則下列哪一選項中的數據表示此三角形的三邊長? (A) (B) (C) (D)
【評論內容】
【平行線之間的截線比例相等】
1. 如圖示，a: 6= (a+12): 14
6a+72=14a, a=72/8=9
2. a: b= 12: 16=3: 4= 9: 12
a=9, b=12
3. 三邊為6,9,12
(B)
【評論主題】9.如圖(七),四邊形ABCD中,E、F、G、H分別為 各邊的中點若 =24,=34,則四邊形EFGH的周長為多少? (A)54(B)56 (C)58 (D)60
【評論內容】
【中點連線的四邊形周長=外四邊形的對角線和】
1. EH=(1/2)BD, EF= (1/2)AC
2. 四邊形EFGH的周長=2(EH+EF)=BD+AC=34+24=58
(B)
【評論主題】8.如國(六),已知△ABC~△DEF且∠ABC之角平分線交 於G點∠DEF之角平分線交 於H點。若 =15, =12, =10, =8.4 ,則 =? (A)12 (B)13.5 (C)14 (D
【評論內容】
【兩個相似三角形，對應的關係皆成等比例縮放】
1. △ABC~△DEF，對應角平分線段比例=對應邊的比例
2. AB: DE= 15: 12= 5: 4
3. EH=8.4, BG= 5x8.4/4=10.5
4. EF=BCx4/5= 10x4/5=8
5. EF+BG=8+10.5=18.5
(D)
【評論主題】7.如圖(五),△ABC,∠BAC=90°, 若 =8, =4 ,則 =? (C)16 (A)12 (B)14 (D)18
【評論內容】
【直角三角形分割出直角三角形的相似】
1. ∠B=∠B共角，∠D=90度=∠BAC，AA相似
△ABD~△CBA
2. AB: BD= BC: AB
8: 4= BC: 8
BC=8x8/4=16
(C)
【評論主題】6.如圖(四), 均垂直 。若 =18, ,則 =? (A)10 (B)9 (C)7 (D)5
【評論內容】
【相似形的對應邊比相等】
1. CD// AB, 內錯角相等，對頂角相等，AA相似
△CDE~△GAE，CD: AG= 18: 12= 3: 2， DE: AE= 3: 2
DE: AD= 3: 5
2. EF: 15= 3: 5, EF=3x3=9
【評論主題】4.如圖(三),若 , ,則 =? (A)36 (B) 24 (C)28 (D)32
【評論內容】
【邊中點形成的2倍縮小的相似形】
1. E、H是AB、AC的中點，EH=BC/2=24/2=12
2. 2EH=DG+FI
3. DG+EH+FI=3EH=3x12=36
(A)
【評論主題】3.在△ABC中,D、E兩點各在 、 上,則下列哪一個條件不能說明 一定平行 ?(A) (B) (C) (D)
【評論內容】
【AA相似或SAS相似】
(A),(B),(C)選項都有共角, 形成SAS相似, 使平行成立
(D)沒有共角，只有邊比相等，少了夾角, 未必平行。
選(D)
【評論主題】2.如圖(二),若 =4x-15, =3x-12, =3, =2,則x=? (A)6 (B) (C) (D)
【評論內容】
【平行線之間的截線比例相等】
1. ∠D=∠B，則DE//BC, 則AD: AE= BD: EC
2. AD=AB-BD=4x-15-3x+12=x-3
3. (x-3): 3= 3x-12: 2
9x-36=2x-6, 7x=30, x=30/7
(B)
【評論主題】1.如圖(一),△ABC, =12, =15若△ABD面積為120,則△ABC面積為何? (A)260 (B)265 (C)270 (D)275
【評論內容】
【等高的面積比=底邊長度比】
1. BD: CD= 12: 15=面積比
2. △ABD面積: △ADC面積= 12: 15 = 120: 150
△ABC面積=120+150=270
【評論主題】9. 下列算式何者錯誤？(A) (－5)4×(－5)3＝(－5)7 (B) 117÷113＝114 (C) (3×6)5＝35×65 (D) (92)3＝95
【評論內容】
D
說明:
同底數的指數乘積
(92)3=9(2x3)=96
(9x9)(9x9)(9x9)的概念
【評論主題】8. 下列各式何者正確？(A) (B) (C) (D)
【評論內容】
B
說明: 七年級的方法
(A) 等號左式(3+1/2)(-2/3)
等號右式3+(1/2)(-2/3), 由左到右, 先乘除後加減。等號不成立。
(B) 等號左式=等號右式=(3+1/2)(-2/3)。等號成立。
(C) 由左到右的乘除順序
等號左式=5x(15/17)x(2/15)
等號右式=5x(17/2)x(2/15)。左式與右式不相等。
(D) 同前項原理，等號不成立。
【評論主題】7. 若 ，則A－B＝？(A) 12(B) －12(C) 24(D) －24
【評論內容】
D
說明:
10=2x5>>除5乘2後可得4
-15除5再乘2後得 (-15/5)x2=-6=A
15=3x5>>除5乘9後可得27
10除5乘9後得(10/5)x9==B
A-B=-6-18=-24
【評論主題】9.一長方體木塊，長為36公分、寬為24公分、高為 15 公分，將外表塗滿黃漆後，切成大小相同的正方體，所切成最少的小正方體中，任一面均無黃漆的有多少塊？ (A) 480 (B) 180 (C) 36
【評論內容】
(36,24,15)=(22x32, 23x3, 3x5)=3=最大公因數
36/3 x 24/3 x 15/3= 12x8x5
沒有黃色漆, 即往內一塊, 三邊的數量為10x6x3=180
選B
【評論主題】7.把大小相同的正方形紙片拼成矩形。當她有 6 張紙片時，她有兩種拼法 。當她有 12 張紙片時，她有三種拼法： ，則下列哪一種數量的紙片，她只能有一種拼法？ (A) 91 (B)247 (C)
【評論內容】
矩形面積=長x寬的概念
6=1x6 or 2x3
12=1x12, 2x6 or 3x4
只有一種, 即為質數
91=13x7
247=79x3
187=11x17
103質數
選D
【評論主題】5. 下列哪些是3x2－2x－5＝（x＋1）（3x－5）的因式？(A)x＋1(B)x－1(C)3x2－2x－5(D)3x－5。答：___。（複選，全對才給分）
【評論內容】
A、C、D
說明:
以因數分解理解因式分解的觀念
例如15=3x5, 15的因數有1, 3,5,15
故選A,C,D
【評論主題】10.如圖(八)用一條繩子緊緊圈住7個等圓。若圓的半徑是1公分，則圈住這7個等圓的繩長是多少公分？ (A) π＋6 (B) π＋12 (C) 2π＋6 (D) 2π＋12
【評論內容】
(D)
由圓心作出正六邊形, 知道內角是120度
圓心半徑垂直切線, 形成長方形與60度的扇形(360-120-2x90=60)
60度扇型的弧長=2π(60/360)=(1/3)π
6個直徑+6個弧長
=12+6(1/3)π
=12+2π
【評論主題】9.如圖(七)，圓O1、圓O2、圓O3三圓兩兩相切，且 為圓O1、圓O2的公切線， 為半圓，且分別與三圓各切於一點。若圓O1、圓O2的半徑均為2，則圓O3的半徑為何？ (A) 2√ 2 －2 (B)
【評論內容】
(A)
兩個等圓的連心線=4
三個圓心構成等腰直角三角形 (切點的垂足性質)
故腰長為2√2
故O3的半徑為2√2-2
【評論主題】8.如圖(六)，在圓內接正五邊形ABCDE中，已知 為切線，D為切點， 相交於F點，則下列敘述何者正確？ (A) ∠CPD＝38° (B) ∠CFE＝120° (C) ∠AEQ＝146° (D)
【評論內容】
(D)
D為切點, 則PQ//AB
圓等5分, 等分的弧度=360/5=72度
(A)∠CPD=72/2=36
(B)∠CFE=180-72=108
(C)∠AEQ=36+36+(108-36)=144
(D)∠ABE=圓周角, ∠EDQ=弦切角, 都是一等分的弧的1/2, 故相等。
【評論主題】7.如圖(五)，直線L與兩圓分別切於A、B兩點，已知 ＝？ (A) 2√65 (B) 15 (C) 8√6 (D) 16
【評論內容】
(A)
外公切線=連心線與半徑差的平方差開根 (畢氏定理應用)
半徑差=14-6=8
(18+8)(18-8)=26x10, 開根後為2√65
【評論主題】6.如圖(四)，四邊形ABCD為圓O的外切四邊形， ，則 ＝？ (A) 9 (B) 14 (C) 19 (D) 24
【評論內容】
(B)
圓外切四邊形的對邊和相等
(2X+5)+(5X-1)=(3X-3)+(6X+1)
2X=6, X=3
CD=5X-1=15-1=14
【評論主題】5.如圖(三)， 切圓O於A、B兩點，若∠P＝80°，則 ＝？ (A) 220° (B) 240° (C) 260° (D) 280°
【評論內容】
外冪角為80度
又AOB圓心角與外冪角互補 (切點垂足之故)故圓心角=180-80=100
其對應的AB弧則為100
故ACB弧=360-100=260度
【評論主題】4.如圖(二)，圓上兩弦 ，其延長線相交於圓外P點，若 ＝？ (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7
【評論內容】
圓的外冪性質
PAxPB=PCxPD
設PC=X
6x15=X(X+13)
X2+13X-90=0
(X+18)(X-5)=0
X=5=PC
【評論主題】3.如圖(一)，弦 ＝130°，則∠APC ＝？ (A) 60° (B) 80° (C) 100° (D) 120°
【評論內容】
(A)
AD弧=110, BC弧=130, 即表示∠APB=(130+110)/2=120
∠APC與∠APB是平角關係(互補)
則∠APC=180-120=60
【評論主題】2.在坐標平面上，圓O1和圓O2的半徑分別為8、4，其圓心坐標分別為O1（6 , 5）和O2（3 , 1），則圓O1和圓O2的位置關係為何？(A) 外離 (B) 外切(C) 相交於兩點 (D) 內離
【評論內容】
(C)
兩圓半徑和=12, 半徑差=4
連心線=(6-3)2+(5-1)2開根,
9+16=25, 開根=5
5介於4~12之間(4<5<12)
故兩圓為相交兩點關係
【評論主題】【題組】4.任意四邊形皆存在一個外接圓。(A)O(B)X
【評論內容】
(B)X
圓內接四邊形的對角必互補, 因對角剛好對應整個圓, 兩角和=180度。
故四邊形外接圓, 有[四邊形對角互補]之前提條件。
【評論主題】12.如圖(九),梯形AEFD中, , =5公分, =10公分,且平行四邊形ABCD面積是45平方公分,下列敘述何者正確? (A) =1:2 (B) BCFE 面積=90 (C)△CDF 面積=22.
【評論內容】
【等高的面積 比=底邊比】
1. 平行四邊形ABCD面積=45，△ABG面積=22.5=△ADG面積
2. AD=BG=5, BG: EF= 5: 10= 1: 2, 面積比=平方比=1: 4
△AEF面積=△ABG面積x4=22.5x4=90
3. AC: CF= 1: 1，△CDF面積=△ADG面積=22.5
(C)
【評論主題】11.如圖(八), 為樹高, 為樹的影子長,瓔珞站在樹前20公D點的位置。已知 =10公尺, =16公尺,瓔珞的身高為175公分。若瓔珞想完全站在陰影底下,則至少須往樹的方向移動多少公尺才不會曬到太陽
【評論內容】
【相似形的對應線段關係比例相等】
1. AB: 1.75= BC: X (X=樹影內的人影長)
10: 1.75= 16: X, X=1.75(16)/10=2.8
2. 原樹影外的距離=20-16=4
向樹移動的距離=4+2.8=6.8=68/10=34/5
(A)
【評論主題】10.如下圖,將一個大三角形剪成一個小三角形及一個梯形。若梯形上、下底的長分別為6、14,兩腰長為12、16,則下列哪一選項中的數據表示此三角形的三邊長? (A) (B) (C) (D)
【評論內容】
【平行線之間的截線比例相等】
1. 如圖示，a: 6= (a+12): 14
6a+72=14a, a=72/8=9
2. a: b= 12: 16=3: 4= 9: 12
a=9, b=12
3. 三邊為6,9,12
(B)
【評論主題】9.如圖(七),四邊形ABCD中,E、F、G、H分別為 各邊的中點若 =24,=34,則四邊形EFGH的周長為多少? (A)54(B)56 (C)58 (D)60
【評論內容】
【中點連線的四邊形周長=外四邊形的對角線和】
1. EH=(1/2)BD, EF= (1/2)AC
2. 四邊形EFGH的周長=2(EH+EF)=BD+AC=34+24=58
(B)
【評論主題】8.如國(六),已知△ABC~△DEF且∠ABC之角平分線交 於G點∠DEF之角平分線交 於H點。若 =15, =12, =10, =8.4 ,則 =? (A)12 (B)13.5 (C)14 (D
【評論內容】
【兩個相似三角形，對應的關係皆成等比例縮放】
1. △ABC~△DEF，對應角平分線段比例=對應邊的比例
2. AB: DE= 15: 12= 5: 4
3. EH=8.4, BG= 5x8.4/4=10.5
4. EF=BCx4/5= 10x4/5=8
5. EF+BG=8+10.5=18.5
(D)
【評論主題】6.如圖(四), 均垂直 。若 =18, ,則 =? (A)10 (B)9 (C)7 (D)5
【評論內容】
【相似形的對應邊比相等】
1. CD// AB, 內錯角相等，對頂角相等，AA相似
△CDE~△GAE，CD: AG= 18: 12= 3: 2， DE: AE= 3: 2
DE: AD= 3: 5
2. EF: 15= 3: 5, EF=3x3=9
【評論主題】1. 已知72＝□×△，其中□和△都是正整數，則□＋△的值不可能是下列何者？(A) 72(B) 38(C) 27(D) 17
【評論內容】
A
說明:
□＋△表示是72的因數組合的兩數和
72的因數組合有:
1x72 >> 1+72=73
2x36 >> 2+36=38
3x24 >> 3+24= 27
4x18 >> 4+18= 22
6x12 >> 6+12= 18
所以72不成立
【評論主題】1.下列哪一個選項中的兩數互質？ (A)31、93 (B) 34、51 (C) 38、95 (D)21、22。
【評論內容】
直接看出
(D)是相鄰的兩個數, 倍數與因數關係,不可能存在。
其他組 皆有公因數，故不互質。
【評論主題】1. 若a為奇數，則下列何者不一定為奇數？(A) a2 (B) a+2 (C) 2a+1 (D) 3a+3 。
【評論內容】
D不是奇
(A) 奇x奇=奇
(B) 奇+偶=奇
(C) 偶+1=奇
(D) 奇+奇=偶 。 3a+3=3(a+1)=3奇=奇
【評論主題】1. 已知有A點、B點和圓O，若圓O的直徑為10，且 ，請問B點與圓O的位置關係為 (A)在圓內 (B)在圓上 (C)在圓外 (D)都有可能。
【評論內容】
C
說明:
圓的半徑=10/2=5
OA=8, A在圓外3cm處
AB=根號5, 小於3,B未進入圓,
故B在圓外
【評論主題】1.試問4m2－m可以等於下列哪一個式子？(A)（4－1）m(B)（4－1）m2(C)m（4m－0）(D)m（4m－1）。
【評論內容】
(D)
說明: 項與項之間的公因數, 應對乘法分配律。
此數學式有兩項, 每一項都有因數m。提公因數
4m2-m=m(4m-1)
【評論主題】7.如圖(五),△ABC,∠BAC=90°, 若 =8, =4 ,則 =? (C)16 (A)12 (B)14 (D)18
【評論內容】
【直角三角形分割出直角三角形的相似】
1. ∠B=∠B共角，∠D=90度=∠BAC，AA相似
△ABD~△CBA
2. AB: BD= BC: AB
8: 4= BC: 8
BC=8x8/4=16
(C)
【評論主題】1.如圖(一),△ABC, =12, =15若△ABD面積為120,則△ABC面積為何? (A)260 (B)265 (C)270 (D)275
【評論內容】
【等高的面積比=底邊長度比】
1. BD: CD= 12: 15=面積比
2. △ABD面積: △ADC面積= 12: 15 = 120: 150
△ABC面積=120+150=270
【評論主題】7.如圖(五),△ABC,∠BAC=90°, 若 =8, =4 ,則 =? (C)16 (A)12 (B)14 (D)18
【評論內容】
【直角三角形分割出直角三角形的相似】
1. ∠B=∠B共角，∠D=90度=∠BAC，AA相似
△ABD~△CBA
2. AB: BD= BC: AB
8: 4= BC: 8
BC=8x8/4=16
(C)
【評論主題】1.如圖(一),△ABC, =12, =15若△ABD面積為120,則△ABC面積為何? (A)260 (B)265 (C)270 (D)275
【評論內容】
【等高的面積比=底邊長度比】
1. BD: CD= 12: 15=面積比
2. △ABD面積: △ADC面積= 12: 15 = 120: 150
△ABC面積=120+150=270