工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)

1.定義曲線 C 為 x = t, y = t 及 z = t2，其中0 ≤ t ≤ 2，求函數ϕ (x, y) = x + y 沿曲線 C 之線積分。(A)8 (B)32/3 (C)8 √2 (D)

2 設 f 和 g 為可微分（differentiable）純量函數，v 和 u 為可微分向量函數，則有關它們的梯度（gradient）、散度（divergence）與拉普拉斯算子（Laplace o

3 令向量函數 F = [ y2, z, x2]，曲線 C 為螺旋圓弧線 r(t) = [2cost, 2sint, t]從 (2, 0, 0) 到 (-2, 0, π)，則線積分 之值為何？

4 令 u, v, w 為空間中向量，則下列敘述何者錯誤？(A)u ⋅ (u × w) = 0(B)u ⋅ (ν × w) = (w × u) ⋅ v(C)u × (v × w) = (u × v)

設 ，則其反矩陣 A-1的特徵值之積為何？(A)-3 (B)3 (C) -1/3 (D) 1/3

一個矩陣 ，則以下何者不是其特徵向量（eigenvector）？(A)x = (2, -4, 6) (B)x = (2, 0, 6)(C)x = (2, 2, 0) (D)x = (-1, 0, 1)

有關正交矩陣（orthogonal matrices）A 的特性，下列何者錯誤？(A)A 的行向量（column vector）都互為正交(B)A 的列向量（row vector）都互為正交(C)A

下列選項何者為 ez= 1+2i 的一解，其中i = −1 ：

9 令 λ1, λ2, λ3為矩陣 的特徵值（eigenvalues），其中 ，試問下列何者正確？

10 針對複數冪級數（complex power series） 的敘述，下列何者正確？(A)此冪級數僅在 z = 2i 收斂(B)此冪級數在| z − 2i | < 1/ 27 的開放圓（op

11 假設 C 為沿著逆時針方向繞圓周 | z | = 2，試求積分 為何？(A)0 (B)πi (C)1 (D)2πi

12 下列何項常微分方程式之 x = 0 為不規則奇點（irregular singular point）？

13 設微分方程式 的解 y(x) 的拉式轉換為 ，試求常數 a 及 0 y ，並判定下列何者正確？(A) 4 a + y0 = (B) 3 a + y0 =(C) 2 a + y0 = (D) 1

14 已知 ，以下何者為 ？

15 試找出微分方程式 y′′ + λy = 0, y(0) = 0, y (L) = 0 之特徵值（eigenvalues）λ m(m = 1, 2, 3,...) ？

16 下列何者不可能是微分方程式 y′′ + Ay′ + By = 0 的解？其中 A 和 B 為常數。(A) 2 x (B) 3x+4 e (C)e + x 2 (D) cos(3 4)

17 有一個週期為 L 的函數 f ( x)= x2 , 0< x< L z ，展開成 ，請問bn為何？

18 離散隨機變數 X 與 Y 之結合機率質量函數（joint probability mass function）為： ，試問下列何者正確？

19 二枚錢幣出現正面之機率分別為 1/3 及 1/2 ，同時投擲該二枚錢幣連續 3 次，試求二枚錢幣皆出現正面剛好2 次之機率為何？(A) 1/72 (B) 5/72 (C) 3/32 (D) 5/

20 假設 50 歲以上的成年人罹患癌症的機率為 0.05，而醫生將患有癌症病患成功篩檢出來的機率為 0.78，但是將沒有患病的成年人錯誤篩檢為有癌症的機率為 0.06。請問針對此癌症篩檢來說，一位

1 設 v(t)為一向量函數，若已知其長度為一非零常數，則下列何者為不可能？(A)v'(t)為零向量 (B)v' (t)和 v(t)正交(C)v' (t)為非零向量且平行

2 令向量場 F = x2i + y2j + 2z2k，則在（1, 1, -1）處的散度（divergence）∇．F為何？(A)-1 (B)0 (C)4 (D)8

3 若 u = zi + xj + yk 且 v = xyi + yzj + zxk，則∇．(u× v)為：(A)v．(∇ × u) (B)2xy + 2yz + 2zx (C)u．(∇ × v) (

4 若 F = 2xcos(2y) i – 2x2sin(2y) j，C 為從（1, π）到（2, π）之某一曲線，求 ∫C F．dR：(A)3 (B)6 (C)4-cos(2) (D)4+cos(2

5 下列何者是正交矩陣（orthogonal matrix）？
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