工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)

20 請問 的主值（principalvalue）為何？(A)0(B)-i(C) (D)

1 求解線性方程組：x+y+z=3 與 x+2y-z=4 之未知數 x, y 與 z。下列敘述何者錯誤？ (A)該線性方程組有無限多組解(B) 為該線性方程組之一組解(C) 為該線性方程組之一組解 (

2 矩陣 M = ， 其中 。則rank(M)為何？ (A)1(B)2(C)3(D)4

3 假設矩陣A= 。下列敘述何者錯誤？(A)矩陣 A 之反矩陣是 (B)假定 b 為 ，求解方程組 Ax=b 時，未知數 x 有唯一解 (C)矩陣 A 為滿秩（Full Rank） (D)向量 是

4 T 為 R3到 R2的線性轉換，滿足 T (x,y,z)=(2x,y-z)。則 T 的核空間（kernel space）維度為何？ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

5 S= span((1,0,0,0),(0,0,0,1))為R4的子空間，則向量u=(1,1,3,5)和 S 的最短距離為何？ (A)5 (B) (C)3 (D)

6 考慮矩陣 ，B 為 A 的相似（similar）矩陣。則det(AB)為何？ (A)2 (B)3 (C)6 (D)9

7 若矩陣A的特徵值（eigenvalues）為-3, 1, 2。則det(A2 +3A+2I)為何？(A) 144 (B) 86 (C)-88 (D)-144

8 假設A= 。A∞ 為何？(A) (B) (C) (D)

9 考慮複變函數cos(z)，其實部為 u(x,y)，虛部為 v(x,y)且 z = x+iy。關於cos(z)敘述，下列何者正確？ (A) (B) (C) (D)

10 複數z = x+iy滿足 ，則 z 為下列何者？(A) (B) (C) (D)

11 試求出 ，其中 C 由以下曲線決定：z(t) = t-it2，而 t 由 0 變化到 1。(A)0 (B)1 (C)-1 (D)i

12 求複變函數積分 ，其中積分路徑 C 為逆時鐘方向繞圓|z − 3i| = 2。 (A)0 (B)iπ (C)i2π (D)-i2π

13 考慮以下微分方程式y '' − 2y = x2 − 1。下列敘述何者錯誤？(A)該微分方程式有唯一解 (B)該微分方程式之通解為 (C)假設 y(1) = 3 且y (1)

14 考慮微分方程式 。下列那一個積分因子（integratingfactor）可將上述微分方程式轉換為正合（exact）微分方程式？ (A) xy (B) x2y (C) xy2 (D) x2y2

15 微分方程式y' + xy = 0的級數解為 y(x) = 。對n =1,2,3,⋯， 滿 n 足下列那一個關係式？ (A) (B) (C) (D)

16 假設 g(t) = 。g(t)之拉式轉換（Laplace Transform）為何？(A) (B) (C) (D)

17 設 f (x)在-L < x <L的傅立葉級數（Fourier series）為 ，下列敘述何者正確？(A) f (x)為偶函數（even function），a0 = 0(B) f

18 某實驗樣本有 30%的人抽菸，而這些抽菸人口中有肺癌的比率為 40%，而70%未抽菸的人口中，有肺癌的比率為 10%。若由此實驗樣本中抽查一人，已 知抽到的人沒有肺癌，而此人沒有抽菸的機率為何？

19 捷運每間隔 A 分鐘發車。定義隨機變數X 為等車時間，其機率分配為[0,A]區間的均勻分配（uniform distribution）。若民眾希望等車時間介於 2~4 分鐘的機率為 0.4，則發

20 隨機變數 X 的變異數（variance）等於 1。若Y = -4X+1，則 X 和 Y 的共變異數（covariance）為何？ (A)1 (B)4 (C)-2 (D)-4

1 某能量場可用函數Φ( x, y, z ) = 0.5( x2+2xy+2y2+z2 ) 表示。該能量場在點 P(-1,0,1) 的最大變化率（rate of change）為何？(A) (B) (

1某能量場可用函數φ(x,y,z)=0.5(x2+2xy+2y2+ z2 ) 表示。該能量場在點 P(-1,0,1) 的最大變化率（rate of change）為何？ (A) (B) (C) (D)

2 令矩陣 ，則下列選項中何者為矩陣 A 的秩數（rank）？(A) 4(B) 3(C) 2(D) 1

3 考慮聯立方程組 Ax=0，其中 A∈R8x10。若此方程組的通解含有 6 個任意常數，則A的值域空間（range space）維度（dimension）為何？(A) 8(B) 6(C) 4(D)

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