工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)

15 反拉普拉斯轉換（inverse Laplace transform） (a cos t + b sin t + ct + d)， a, b, c, d 為常數，則： (A) a + b + c

16 假設 f (t ) = ，其中 為反拉普拉斯轉換（inverse Laplace transform） ，下列何者正確？ (A) f (0) = -1 (B) f (0) = 1 (C) f

17 定義傅立葉轉換 F (ω ) = ，令 f ( x) = ,F (ω ) =?(i=√-1) (A) (B) (C) (D)

18 若 X 為一連續均勻分布（uniformly distributed）在區間 (0, 20) 之隨機變數，可計算得知 X < 10 之機率為 a， X > 12 之機率為 b， 8

19 將一副正常的撲克牌（52 張牌包含四種花色：黑桃、方塊、紅心、梅花，每種花色各 13 張牌，ACE 為各花色點數 1 的牌）隨機均分為 4 疊，每疊各 13 張牌。這四疊牌每疊恰好包含一張 AC

20 設 X 和 Y 為連續隨機變數 ， 其聯合機率密度函數 （ joint probability density function ） ，令 W = Y/X ，期望值 E (W ) = ？ (A

1我們準備對（1,-1,3）以及（2,0,-4）這兩個向量做外積（cross product）。如果將答案寫成（1,-1,3)✕(2,0,-4)=(a,b,c)，那麼a✕b✕c=？(A)30(B)80

2考慮一線性方程組Ax=b，A為m✕n矩陣，m>n。下列敘述何者錯誤？(A)該方程組可能無解(B)該方程組可能只有一解(C)該方程組不可能有無窮多解(D)矩陣A的列階梯形矩陣（rowechelo

3如果用Φ來代表（1,3,2）與（0,-1,4）這兩個向量之夾角，那麼sin2Φ=？請選出最接近的數值：(A)0.9(B)0.7(C)0.5(D)0.3

4假設我們已知（1,2,3）、（1,0,-1）以及（3,1,α）這三個向量無法構成 的基底（basis）。那麼， α= ？(A) (B) (C) -1 (D)

5考慮如下所示之矩陣： 。下列敘述何者正確？(A)A為可逆（invertible）的矩陣(B)A為既約列梯形（reducedrowechelonform）的矩陣(C)A為單位矩陣（identityma

6如下所示之選項中，何者為矩陣 的特徵向量（characteristicvector，亦稱eigenvector）？ （選項中的符號 代表矩陣轉置（transpose）的動作。提示：建議你直接套用特徵

7考慮一馬可夫過程（Markovprocess）：其狀態向量x之初值 。請問 為何？(A) (B) (C) (D)

8在下列四個選項所顯示的複變函數（complexfunction），其中有三個是可解析的（analytic，亦稱differentiable（可微分的）），有一個是不可解析的（notanalytic）

9考慮如下所示之複變函數： 。如果我們將該函數在 z = 0 （亦即複數平面上的原點）的留數（residue）寫成 a + b • i 的形式，那麼 a + b = ？ (A) -2 (B)0 (C)

10在本題中我們考慮複變函數的線積分（lineintegral）。首先我們知道複數平面上的點可以寫成 的形式，接著我們用 代表y=x2這條曲線，而且其起點為(x,y)=(0,0)、 2 終點為 (x,

11令 ，其中路徑積分之路徑C為以±2,±2i為頂點之正方形的邊界，行經方向為 正。請問g(1)之值為何？(A)2πi (B)1 (C)0 (D) 4π i

12有一個雙變數函數f(x,y)=x2• sin(x•y)。請問f(x,y)在（1,π）的梯度（gradient）為何？(A)（1,π） (B)（π,1） (C)（- π, -1） (D)（1, -π

13考慮微分方程式： ,其中 與 分別代表y對變數t做一次與二次微分。請問下列敘述何者正確？(A)對於某些 初值，方程式的解會收斂到零(B)對於任何非零之 初值，方程式的解是一個頻率為ω之週期函數(C

14考慮一個初始值問題（initial-valueproblem）__微分方程： ，初始條件：y(0)=2、y'(0)=-1。如果我們將本問題的解答y(x)寫成幂級數（power serie

15下列關於拉普拉斯轉換（Laplacetransformation） 之敘述，何者錯誤？(A) L( f + g) = L( f ) + L( g) (B) ，其中 為 L 之逆轉換 (C) L(

16考慮以下函數：f(t)=1，當0≤t≤2；f(t)=0，當t≤0或t≥2。下列敘述何者正確？(A)函數f(t)之傅立葉轉換（Fouriertransform）為F(ω)= (B)函數g(t):=f

17考慮一隨機變數x，其機率密度分布函數具有下列形式：f(x)=1-|x|,|x|≤1，且f(x)=0,x>1。請問x之變異數（variance）為何？(A) (B)2/3 (C)1 / 6

18有兩個連續的隨機變數X與Y，它們的合併機率密度函數（jointprobabilitydensityfunction）為： 其中 A 為常數。請問隨機變數 X 的期望值（expectation）為下

19假設我們有一個不公平（unfair）的銅板，在每次投擲中出現正面的機率為0.4，出現反面的機率為0.6。如果我們丟擲這個銅板5次，結果出現正面比出現反面還更多次的機率為何？（請在下列選項中選出最接

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