工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)

1 下列何者可為y′′′ −6y′′ +11′y−6y = 0 之解？(A)y= e4x(B)y=e-2x (C) y= e 3x (D) y=e-x

1 利用變換變數v = x + 2y,z = x - 2y 可將偏微分方程式4uxx-uyy= 0 轉換為：（其中 ）(A)uvv= 0 (B)uzz= 0 (C)uvz= 0 (D) uvv+uz

1 下列何者為微分方程式 yy′′ = 2( y′)2的解？(A)ln(c1x + c2 ) (B)(c1x + c2 )−1 (C)ex+c (D) [ln(cx + c2)]−1

1 下列何者為曲線 y＝c/x2 的正交曲線，其中 c 為常數？(A) x2 + y2 = k (B) x2 − 2y2 = k (C) x2 − 2y2 + x = k  (D) x2 − 2y2

1 求微分方程式 x2y′′ + 2xy′ − 6y = 0的通解。（題中 ， 答案選項中c1及c2為常數）(A)c1 x−1 + c2 x4 (B)c1 x + c2 x −4 (C)c1 x−2

i = √−1，下列那一級數（series）收斂？

1 一微分方程式為(x2 + 3y2)dx − 2xydy = 0，試求其通解：（其中 k 為任意實數。）(A) x2 = k(x + y)(B) x3 = k(x2 + y2)(C) y2 = k(

2 求解微分方程y′′ −0.64y ′ =0 ，其解為：

3 已知微分方程式y′−xy =1，y(0)=1的解可表為 ，試求常數a0 、a1、a2及a3之值：(A)a0＝1, a1＝-1, a2＝1/2, a3＝-1/4(B)a0＝1, a1＝1, a2＝1

4 微分方程式-ydx+xdy＝0 乘上下列那一項，可以使該方程式變成正合（exact）微分方程式？(A)1/x (B)1/x2(C)1/y (D)1/xy2

5 下列何者為函數f(t)=1/10tsin(5t)之拉氏（Laplace）轉換？

6 請問z＝0 是複變函數f (z)＝z sin(z2)的幾階零點（zero）？(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

7 下列選項何者為ez＝-2 的一解，其中i =√−1：(A)-ln(2)+iπ (B) ln(2)+iπ (C)-ln(2)+i2π (D) ln(2)+i2π

8 假設路徑 C 為一逆時針方向的方形封閉路徑的邊界且其四個頂點分別為 2+2i, -2+2i, -2-2i, 2-2i，試求 之值為何？(A) 0 (B) 1 (C) πi (D) 2πi

9 求 其中積分曲線為c: x2+y2=1 (A)-1 (B) 0 (C) 1 (D) 2

2 下列何者為微分方程式 y′′ + 4y = 8x2 的一般解？以下選項中的 A、B 為任意常數。(A)y=Acos2x+Bsin2x+2x2(B)y=Acos2x+Bsin2x+2x2-1(C)y

3 函數 f(t)之拉氏轉換（Laplace transformation）為 L{f (t)}，令 ，則 f(t)可能為何？(A) tsin(2t) (B)te−2tsin(2t) (C)t cos

10 下列曲線 中，何者與本身的切線方向垂直（亦即 ）？

4 設微分方程式 y′′ + ay′ + by = 0 ， y(0) = y0 ， y′(0) =y′0的解y(t) 的拉氏轉換為 ，試求常數a、b、y0及 y′0之值，並判定下列何者正確？(A) a

5 對於此微分方程式 x2y′′ − 3xy′ + 3y = 2x4ex ，下列何者錯誤？(A)其解含有x3項 (B)其解含有xex項 (C)其解含有x2ex項 (D)其解含有x2e2x項

6 複變函數 在 z = π 的留數（residue）為何？其中i = √−1(A)π2 − i (B) 2(π2 − i) (C)i − π2 (D) 2(i − π2)

7 假設一複變函數 f (z) = x2 − y2 − 2y + i(2x − 2xy)，令複數 z = x + iy ，而其共軛複數為 ，試問此複變函數可以下列何種形式表示？(A) z2 + 2iz

2 下列何者為偶函數？(A) f (x) = x3 (B) f (x) = sin x (C) f (x) = ex + e−x (D) f (x) = tan 3x

11 級數 之收斂半徑 R 為： (A) 0 (B) 1 (C) 3 (D)∞

3 若 ，試求f(t) 之拉氏轉換（Laplace transform）F(s) ：

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