工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)

13 令矩陣 ，則下列敘述何者錯誤？ (A)矩陣 A 的行列式值（determinant）為 6(B)矩陣 A 有三個互異的特徵值，且其和為 6(C)矩陣 A 為不可對角化（not diagonali

2 設 L{f (t)} 為 f (t)之拉氏轉換，下列何者為錯？(A) L{af (t) + bg(t)} = L{af (t)}+ L{bg(t)}(B) L{af (t) + bg(t)} =

15 求 之值，其中 C 為連結 (1,1)與(2,3) 之曲線，而y = x3−3x2+4x +1： (A)−150 + 30i (B)−156 + 38i (C)−150 + 38i (D)−15

16 計算(1+√3i)−10= ？(A)2−10(1+√3 i) (B)2−10(1−√3 i) (C)2−11(−1+√3 i) (D)2−11(−1√−3 i)

17 令u = u(x, y)，f 為任意連續二次可微分函數，下列何者滿足偏微分方程式uxy = uyy？(A)u = f (xy) (B)u = f (x + y) (C)u = f (x − y)

14 令矩陣 ，且已知(a-d)2+4bc>0 ，則下列敘述何者不恆真？(A)矩陣 A 為可對角化（diagonalizable）(B)矩陣 A 的各個特徵向量（eigenvector）互為線性

15 若矩陣 A 之特徵值（eigenvalue）為 0，-1，-2，令 I 表示單位矩陣，則 A(A + I)(A + 2I) 之特徵值為何？(A) 0，0，0 (B) 0，-1，-2 (C) 0，

16 若A、B、X均為非奇異方陣（non-singular matrix），且A-1( BX )-1 = (A-1B3)2，則X =？(A)A-4BA-3 (B)B-2AB-3 (C)BA-1B-3

3 微分方程式 ，且 y(0) = y'(0) = 0，求 y(1) 為何？(A)4e−1 − 8 (B)8e−1 − 4 (C)8e−1 + 4 (D)4e−1+8

4 試求反拉氏轉換（Inverse Laplace Transform） L−1{(3s − 2)/[s2 + 6s + 25]}：(A)3cos 2t − 2sin 2t (B) 3e−3tcos2

5 設一三度空間內之曲線可表示為位置向量F(t) = cos(t)i + sin(t)j + √3tk ，其中− π ≤ t ≤ π ，則該曲線長度為何？(A)2π (B) 4/3π(C)2√3π (

18 設 x 為連續隨機變數，其機率密度函數為 試求變異數（variance）：(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

19 在某一個車站，公車到站的時間是隨意分布在上午 10 點到 10 點 50 分之間。一個乘客在上午 9 點 55 分抵達車站，則這個乘客至少還要等 20 分鐘才會有公車到站的機率為何？(A) 0.

17 兩 連 續 隨 機 變 數 X 、 Y 之結合 機 率 密 度 函 數 （ joint probability density function ） 為 ，求機率 P(X+Y>1) =？(

12 欲將週期為 函數 展開成  請問a0為何？(A) 0.5 (B) 1 (C) 1.5 (D) 2

6 令F(s)t =L ，則下列何者正確？(A) F(0) =5/8(B) F(−1) = 1(C) F(1) = 10/27(D) F(∞) = 1

20 假設 x、y 是獨立隨機變數，機率密度函數各為 若 z = xy ，則到期望值E(z)為：(A)8/ 2 (B)8/ 3 (C)8/ 4 (D)8/ 5

2 有一個平面包含   兩個向量，求出向量  與該平面法線的夾角應為何？(A)   θ =cos −10 (B) θ =cos  −11  (C) cos−1 θ =4/ √30(D)  θ =cos

3 下列何組向量可成為 R2 空間的單範正交基底（orthonormal basis）？ (A){(1/ √2, 1/ √2)T ,(1, −1)T  }   (B){ (−1/ 2, √3 / 2)

18 隨機變數 X、Y 之結合機率 P(X = x, Y = y) 如下表，則下列機率何者正確？ (A)P(X<Y)=3/8 (B)P(X<Y)=2/3 (C)P(X>Y)= 1/3

7 下列那一向量與平面3x − 5y + 2z = 10垂直？(A)[1, −1,1] (B)[1,1,1]

19 離散隨機變數 X 之機率為 ，則期望值（expected value） E(4X+7)為何？(A) 12 (B) 13 (C) 15 (D) 17

20 若一系統由 2 項獨立（independent）運作之組件構成，在此 2 組件皆正常運作下該系統才可正常運作，已知此 2 項組件正常運作之機率分別為 0.8 及 0.4，試求此系統正常運作之機率

13 下列那一函數滿足三維 Laplace’s 方程式  ？

14 二個獨立（independent）的隨機變數 X 與 Y，X 的期望值（mean）為− 2 ，變異值（variance）為 4；Y 的期望值為 10，變異值為 1。定義W = X −Y ，將 W

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