工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)

20 設一隨機變數（random variable）X，其期望值（mean value） E[X] =1，其均方差（variance） 。令Y = 3X + 2，則E[Y2] 之值為何？(A) 36

2 求 y′′ + 4y′ − 2y = 0之通解：

3 若 ，c∈R 是 Ax= 的通解（general solution），試求矩陣 A。

2 有一微分方程式 y′′ + y′− 2y= 0, y(0) = 4 , y′(0) = −5，下列何者為其解？(A) y = ex + 3e2x (B) y = e −x + 3e2x (C) y

3 下列何者不是線性（linear）微分方程式？(A) x3y′+3x2y=1/x = (B) x2y′ + 2xy = sinh 5x (C) y′ = 1+ y2 (D) xy′=2y+x3ex

4 應用拉式轉換（Laplace transform）求積分方程式： 的解為何？

4 下列何者不是微分方程式 的解？(A) y = 1+ cos x (B) y = 1+ sin x (C) y = 2(1+ cos x) (D) y = 1

5 設 ，令旋度（curl）∇ × F = αi + β j + γ k ，則α + β + γ 等於？(A) 6 (B) 0 (C) −1/2(D)− 3

5 以下何者為 之拉式反轉換（inverse Laplace transform）？

6 已知函數 F(x) = x, 0 < x < 2，以半幅展開 F(x)為傅立葉餘弦級數 ，則下列何者正確？

6 令σ (x, y,z) 為空間中某物體之密度分布，T 為該物體所存在之領域（region），其對 X 軸之轉動慣量（moment of inertia）為 。今有一密度為１之圓柱體 ,T: ，其

7 定義傅立葉轉換為 之傅立葉轉換，其中δ(t)為 Dirac delta 函數。

8 若 A ∈ Rn×n為對稱矩陣，則下列何者敘述正確？(A)一定可對角化 (B)特徵值全部相異(C)一定可逆 (D)對於任意 x ∈ Rn，則 xTAx ≥0

7 令矩陣 A= ，設a, b, c, d 皆為正值，且 ATA=I ，則a + b + c + d 等於多少？

8 令u 為 向量，則下列敘述何者錯誤？(A) uuT為對稱矩陣 (B) uuT的秩（rank）為 1 (C)uuT恆可對角化 (D)uuT的特徵值恆大於0

9 將函數 f (t) = (2cos(2πt))4的複數傅立葉級數（complex Fourier series）表示成 ，其中i = √−1 。求 之值為何？(A) 9 (B) 11 (C) 13

9 令向量x= [1 1 -2 ]T，下列何者正確？

10 給定一個微分方程式 y′′ − xy′ + exy = 4 ，初始值為 y(0) =1， y′(0) = 4，這個初始值問題存在著一個冪級數解（power series solution） 。則

10 試求當線性聯立方程式： ，具有無窮多組解時， a = ？(A)a = −3 (B)a = 3 (C)a = √3 (D)a = ±2 √2

11 求 ，沿拋物線 x = 2t ， y = t2+3之值為何？(A) 31/2 (2B) 33/2 (2C) 35/2 (2D) 37/2

12 下列給定的矩陣 A, B 中，何者互為相似矩陣（similar matrices）？

13 方程式| z + 3| + | z − 3|=10 在直角座標中之軌跡為何形狀？(A)圓 (B)橢圓 (C)雙曲線 (D)拋物線

11 若 f (t)的拉普拉斯轉換式（Laplace transform）為 ，試求 。(A) 0 (B)1/2(C) 1 (D)∞

14 令 R 為 x - y 平面上的一個封閉有界領域（closed bounded region），封閉曲線C 為 R 之邊界（boundary），且 R 永遠位於行經C 之路徑之左邊，則下列路徑積

12 以下何者為 δ (t −a)*u(t + b)之拉普拉斯轉換式（Laplace transform）？其中δ (t)為脈衝函數（impulse function）；u(t)為單步階函數（unit

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