工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)

14 設A, B, P皆為n階方陣，且P可逆。令B = P-1AP，則下列敘述何者錯誤？(A) A 與 B 的特徵值皆相同 (B) A 與 B 的行列式相同 (C) A 與 B 的秩（rank）相同

15 試求函數 的逆拉式轉換（inverse Laplace transform）。

16 有一個週期為 6 的函數 f (x)，其在 x∈（1,7）內之函數值為 ，下列何者是該函數的傅立葉級數？

17 級數 的收斂半徑（radius of convergence）為何？(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)∞

18 有一振動方程式utt = c2uxx ，其中 ，若將其自變數 t, x 變換為 v=x+ct，z=x－ct，則可將原偏微分方程式轉換為：(A)uvv = uzz (B)uvv = uz (C)u

19 z 是一個複數（complex number），z = x+iy，x 與 y 皆為實數，則下列敘述何者正確？(A) 0 ≤ | sin z | ≤ 1 (B)| sin z | ≤ | sin

20 設x為連續隨機變數，其機率密度函數為f (x)=e-|x|/2，－∞< x <∞，求其Moment-generating function E( etx )，| t | < 1

1 下列何者為微分方程式 yy′′ = 2( y′)2的解？(A)ln(c1x + c2 ) (B)(c1x + c2 )−1 (C)ex+c (D)  [ln( cx + c2 )]−1

2 令 c 是從(1,1,1)到(0,1,3)的直線線段，則∫c xzdx- cos( yz)dy+ xydz  等於多少？

3 下列何者是微分方程式 y′ + y = x / y的解，其中 c 為任意實數？(A) y = x2 − 0.5 (B) y2 = ce−2x + x − 0.5 (C) y = ce−2x + x

5 下列向量場 中，何者無旋量   ，且散度（divergence）最小？

6 設  ；若a+b=c+d 且  是 A 的一個特徵向量（eigenvector），則 A 的特徵值（eigenvalues）為何？(A)λ1 = a + b, λ2 = d − b (B) λ1=

7 令矩陣  ，則行列式|A|  等於？(A) 12 (B) 24 (C) 36 (D) 48

8 令  ，則 f (1)等於多少？(A) 1 (B)1− 2e−1 (C)  (D) 1 + e−1

9 設u(t) 為單位步階函數，則以下何者為此迴旋積（convolution）u(t − 3)*e−2t的結果？ (A)0.5(1− e−2(t−3))u(t − 3) (B)0.5(1− e−3(t

10 f (t) 是週期為2π 的函數，定義 g(t) 為 g(t) = ( f (t) + f (−t))/ 2 ，將 g(t) 的傅立葉級數（Fourier series）表示成   (an co

11 若 f (t)的拉式轉換（Laplace transform）為   ？

13 週期為2 π 的週期性函數  ，其傅立葉級數表示成  ，則下列何者正確？

14 將  化簡成單一級數表示，則下列何者正確？

15 求∫ c(12z2-4iz)dz− 之值，其中 C 為連結 與 之曲線，而 y=x3-3x2+4x+1： (A)−150 + 30i (B)−156 + 38i (C)−150 + 38i (D

16 計算  ？

17 令u = u(x, y)，f 為任意連續二次可微分函數，下列何者滿足偏微分方程式uxy = uyy？(A)u = f (xy) (B)u = f (x + y) (C)u = f (x − y)

18 設 x 為連續隨機變數，其機率密度函數為f(x) =e-|x| / 2, -∞<x<∞，試求變異數（variance）： (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

19 在某一個車站，公車到站的時間是隨意分布在上午 10 點到 10 點 50 分之間。一個乘客在上午 9 點 55 分抵達車站，則這個乘客至少還要等 20 分鐘才會有公車到站的機率為何？(A) 0.

20 假設 x、y 是獨立隨機變數，機率密度函數各為  ， 若 z=xy ，則期望值E(z)為：(A)8/ 2 (B)8/ 3 (C)8/ 4 (D)8/ 5

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