工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)

11 求微分方程 之解為：(A) 2x − y − ln| y|= −1 (B) (C) (D)

12 已知 y(t)的拉普拉斯轉換（Laplace transform）方程式為 。下列何者錯誤？(A) (B) (C) (D) ，其中u(t) 為單位步階函數（unit step function）

13 下列何者為 之解？（其中 C 為常數）。(A) (B) (C) (D)

14 給定一偏微分方程式 ，且方程式滿足  z(x,0) = x2 ， z(1, y) = cos y ，試問 z(0,∏) =？(A) (B) (C) (D)

15 有一微分方程 ，  r1 及 r2 分別為其級數解 的收斂半徑，其中c n  為常數，則 r1 + r2 = ？ (A)6 (B)7 (C)8 (D)9

16 求t cos(at) 之拉普拉斯轉換（Laplace transform）：(A) (B) (C) (D)

17 試問下列何者不滿足二維拉普拉斯方程式 ？(A) (B) (C) (D)

18 某離散隨機變數 X 之質量函數為 P(−2) = P(1) = P(2) = 0.15， P(3) = 0.55，試問期望值 E[X]為何？(A)0.6 (B)1 (C)1.5 (D)1.8

19 設隨機變數（random variable）X 和 Y 的聯合機率密度函數（joint probability density function）為 。則 a 之值為何？(A)1/104 (B)

20 令 Xi , i = 1,2,..., n ，為獨立高斯隨機變數（Gaussian random variables），其 ，亦即 ，下列何者錯誤？(A) (B) (C) (D)

1 向量 u =（-1,4,2,3）於向量 v =（-1,0,2,2）之投影（projection）的長度為何？

2 下為敘述何者恆真？(A)V 為向量空間（vector space），W 是 V 的子集合（subset），則 W 是 V 的子空間（subspace） (B)空集合為任意一向量空間的子空間 (C)

3 試求點（2,0,0）到平面 x + 2y + 2z = 0 的距離為何？2 2 (A)1 (B)2 (C)2/√5                 (D) 2/3

4 給定三個 n × n 之可逆矩陣 A、 B、 C，下列敘述何者錯誤？(A)（ABC ）T = CTBTAT (B)（ABC ）-1 = C -1B-1A-1 (C)若矩陣 A 是正交矩陣（orth

5 假設矩陣 ，且 A 的特徵值（eigenvalues） λ1 = 1 、 λ2 = 5 ，其對應的特徵向量（eigenvectors）  分別為 ，則 a + b + c + d =？(A)6

6 下列矩陣何者為非正交矩陣（non-orthogonal matrix）？

7 令 ez = 2 + i 3，則：

8 已知 {z n = xn + i y n } 為一複數數列，其中 xn 及 yn 分別代表 z n 的實部及虛部，則下列敘述何者錯誤？(A)若複數數列 {zn } 為發散，則數列 {xn }及 {

9 求 在零點的極點次數（pole order）： (A)0 (B)1 (C)2 (D)4

10 已知微分方程式 y"+α y '+ β y = 0 的通解為 y ( x) = c1e −3 x + c 2 xe −3 x ，試求 α 、β 之值，並判定下列何者正確？（題

11 下列何者為 x 2 y"−5 xy '+9 y = 0 之解？其中 a、b 為常數，

12 根 據 微 分 方 程 式 (sin x cos x − xy 2 )dx + y (1 − x 2 )dy = 0 及 其 初 始 條 件 y(0)=4 ， 請 問 下 列 何 者 為 y 2

13 某一函數 f (t ) 的拉氏轉換（Laplace Transform）為 ，則下列何者正確？  (A) f（0+）= 2 (B) f（0+）= 12 (C) f ' (0 + )

14 假設聯立微分方程式 （其中 ）的解 y 2 (t ) = ae 2t + be −5t a、b 是常數，求 a+2b =？ (A)-2 (B)2 (C)3 (D)5

15 假設微分方程式 y"− xy '+e 2 x y = 8 ，其中 y (0) = 1 且 y ' (0) = 2 ，若 為此微分方程式之級數解，n =0 求 a1

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