工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)

16 考慮函數 f ( x) = 1 + cos πx ，當 x ∉ [−1 , 1] 時，f ( x) = 0 ，求此函數之傅立葉轉換（Fourier transform）？

17 下列何者為 的傅立葉轉換 X (e jω ) ？

18 x ∈ ℜ 隨機均勻從 [-1,1] 區間選出，令事件 A = {x ＞ 0.75} ， B = { | x − 0.5| ＜ 1} ，求 P[A ∪ B ] ⋅ P[ A ∩ B ] =？ 

19 投擲一顆公平的骰子並記錄獲得點數，再投擲另一顆公平的骰子且記錄獲得點數，試求第二次點數大於第一次點數之機率：  (A) 1/3(B) 5/12(C)1/2                   

20 設 X 為一隨機變數，它在每一可能值 -1、0、1 的機率分別為 P{X = -1} = 0.2，P{X = 0} = 0.5，P{X = 1} = 0.3，求 E[X 2]： (A)0.2 (

1 假 設 A， B 為 同 階 方 陣 ， 則 下列敘述何者正確？ (A)①②③④皆成立 (B)僅①②③成立 (C)僅②③成立 (D)僅①③成立

2 令 a, b, c 為同維度之三向量，則下列有關其外積（cross product）的敘述何者正確？  (A)a×b=b×a (B)a×(b×c)=(a×b)×c (C)若 a≠0 且 a×b=a

3 令矩陣 A = ⎢⎢0 1 1 ⎥⎥ ，若 A 的秩（rank）為 2，則 a 值為何？ (A)-2 (B)-1 (C)0 (D)1

4 已知 n 為任意正整數， 皆為已知常數矩陣， 為未知矩陣。若線性方程式系統 Ax = b 存在唯一解，下列何者正確？ (A)adj(A) = 0 (B)rank(A) = 0 (C)det(A)

5 求出線性轉換 的代表矩陣為：(A) (B) (C) (D)

6 矩陣 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

7 將 e5+2i 化簡為 a+bi 形式的敘述（a,b 為常數），則化簡後結果為： (A) (B) (C) (D)

8 假設路徑 C 為一逆時針方向的單位圓 之值為何？ (A) 2πi (B)πi (C) (D) − πi

9 函數 f (t)之拉氏轉換（Laplace transform）表示為 L{ f (t)}，若 L{ f (t )} = ，則 f (t)為何？s − 3s + 2 其中 u(t)為單位步階（u

10 假設 方 程 式 的 解 是 y (t ) = a + bet + ce −t ， 其 中 a,b,c 是 常 數 ， 求2 a+b+c=？ (A)-1 (B)1 (C)2 (D)3

11 下列何者可做為微分方程式 2 + (6 x − e− 2 y ) = 0 的積分因子（integration factor）？  (A)e2xy3 (B)x3e2y (C)e3y (D)e3x

12 給定一個二維（2-dimension）微分方程式 x′(t ) = −2 y (t ), y′(t ) = x(t ) ，且滿足 x(0) = 2, y(0) = 0， 2 則下列選項何者正確

13 下列何者是 ( x − 1) 2 y′′ − 4 xy′ + 4 y′ + 4 y = 0 的解？（選項中 c1 和 c2 為任意常數。） (A) c1 x 4 + c2 x (B) c1 (

14 複變函數 f ( x + iy ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 在 x+iy 為可微分，則下列何條件必須滿足？ (A) (B) (C) (D)

15 求符合偏微分方程式 uxy – 4ux = 0 的通解。  (A) c1 ( x)e −4 y + c2 ( y ) ，其中 c1,c2 為函數  (B) c1 ( y )e 4 y + c2

16 求函數 F ( s) = 的逆拉式轉換（inverse Laplace transform）？ (A) 5 sinh 5t + cosh 5t (B) 5 cosh 5t + sinh 5t

17 已知 F ( s ) = ℑ{ f (t )}為 f (t)的傅立葉轉換（Fourier transform），f *(t)為 f (t)的共軛複數（complexconjugate），其中 s

18 投擲兩顆公正骰子，獲得兩個相同數字（equal numbers）或是數字具偶數乘積（numbers with evenproduct）的機率為何？ (A)15/36 (B)27/36 (C)5/

19 假設 X 和 Y 為兩個獨立的隨機變數，其聯合機率分布（joint probability distribution）f (x,y)為 f (2,1) = 0.1，f (2,3) = 0.2，f

20 若 X 的機率質量函數為 p(0) = 1/3, p(1) = 2/3，則其期望值 E[X]為多少？(A)1/3 (B)1/2 (C)2/3 (D)1

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