工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)

14 一函數 f ( t ) = 5[ H ( t - 3 ) - H ( t - 11) ]其中 H(t)是 Heaviside 或 unit step 函數，其傅立葉轉換(Fourier  Tra

15 給定一複變函數(complex function) ，則此函數在 z = 0 的殘餘數(residue)為何？ (A)0 (B)1 (C) -i (D)i

16 考慮複變函數 ，若 C 為逆時針方向繞圓周 ︱z - 0.5i︱ = 1 的路徑。則線積分 為下列何值？ (A) 2π i - π sin ( i )     (B) -2π i + π si

17 找出複變函數級數 的收斂半徑。 (A) √26 (B) (C) √13 (D)

18 設 X 為一連續隨機變數，其機率密度函數(probability density function)為 。  若 X 的變異數(variance)為 4，則 值為何？ (A)2√3 (B)3√

19 設 X 為一具有常態分布(normal distribution)的連續隨機變數，其平均值(mean)為 1，標準差(standarddeviation)為 2。若將其標準化為平均值為 0，標準

20 將四個硬幣先後向上投擲後落地，會有十六種不同結果。定義一隨機變數 X，X 等於每一個結果中硬幣人像朝上的個數，試問下列何者不正確？ (A) X=3 的機率，即 P ( X = 3) = 0.25

2 令 T 和 S 為 R3 映射至 R2 的線性轉換（linear transformation），其中 T ( x, y, z ) = ( x - y, z + y) ，S ( x, y, z )

3 給定矩陣 。則矩陣 的行列式值為何？(A)-6(B)-0.75(C)0.25(D)0.75

4 考慮如下所示之過度限制（over-determined）線性聯立方程式： 如果這個聯立方程式的最小平方誤差解（least-squared-error solution）為 x=α, y=β，那麼

5 考慮一個作用在 的線性轉換（linear transformation）T。已知 T(1, -1) = (3, 2) 、T(1,1) = (1, -5) 。若是 S 表示 T 的反轉換（inver

6 考慮如下所示之線性聯立方程式：  若是已知此聯立方程式無解，那麼在下列有關於 α 之敘述，何者正確？ (A)-∞ < α ≤ -5 (B)-5 < α ≤ 0 (C)0 < α

7 我們考慮一個矩陣： ，若已知此矩陣為不可逆（not invertible），那麼請問 x 的數值為何？  (A)-3 (B)12 (C)2 3 (D)4

8 有一條三維空間中的曲線，曲線上的點的坐標(x,y,z)以參數式來表示為：x(t)=2sin(t)、y(t)=2cos(t)、  z(t)=5t 。請問此曲線在(0,2,0)到 這個區間內的長度與下

9 如果 ，那麼下列有關於 x、y 之敘述，何者正確？ (A)x∙y < 0 (B)x+y < 0 (C) |x| < |y| （ |x| , |y| 分別代表 x 與 y 之絕對

10 令 i 為單位虛數，則 sin(π + i) 的實部（real part）為何？(A)π (B)1 (C)-1 (D)0

11 若積分路徑 C 為逆時鐘方向且滿足 z = 1 ，則複變函數積分 之值為何？ (A)πi (B) -π i (C) -2π i (D) -13π i

12 我們考慮複變函數 f(z)=z 2 +1 (z=x+iy) 沿著曲線 Γ 作線積分（line integral），其中 Γ 代表在複數平面上由 y=x 2 來描述的曲線；我們的積分範圍是從 0+

13 考慮如下所示之初始值問題（initial-value problem）： y'' - x 2 y' - 3xy = 0 ; y (0) = 1, y'(0

14 假設 y(x)可以由下列微分方程來描述： 而且合乎初始條件： y(1) = -1 。請問 y(0)=？ (A) -2 或 -3 或 5 (B)2 (C) -4 或 -1 (D)3 或 4

15 下列選項之中，何者屬於線性（linear）微分方程式？(A) (B) (C) (D)

1 若多項式 p1 ( x ) = x 2 - 2 x + 1， p2 ( x ) = 2 x 2 + ax - 1， p3 ( x ) = x 2 + x + b 所拓展（span）的子空間維度為3

2 某向量經過線性轉換（linear transformation） 之後，長度被放大 r 倍，逆時針旋轉 角度θ。r 和θ分別為何？ (A) r = 3, θ = 60° (B) r = 1, θ

3 矩陣 ，則 det( A 5) 為何？  (A) 32 (B)0 (C) -16 (D) -32

4 矩陣 ，下列何者為其特徵向量（eigenvector）？ (A) (B) (C) (D)

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