工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)

6 假設函數 f (t ) = te −t cos t 的拉普拉氏轉換（Laplace transform）為 ，其中 a, b, c是常數，求 a+b+c=？ (A)‒3 (B)‒1 (C)1 (

7 假設 w = f ( z ) = z 2 + 3 z ，若 z = 1 + 3i ，下列敘述何者正確？(A) f (1 + 3i ) 的實部（Real part）為 13 (B) f (1 + 3

8 下列複數函數何者在任意範圍都是可微分（differentiable）？其中 z = x + yi。(B) f ( z) = Im[z ] 2 (A) f ( z) = z (C) f ( z )

9 令 為一複數冪級數（complex power series），且已知其收斂半徑為 3，則下列敘述何n =0 者錯誤？ (A)此級數在 z = 0 收斂 (B)此級數在 z = 5 收斂 (C)

10 下列何者為微分方程式 y′′ − 2 y′ + y = −12e x 之通解（其中 ）？（選項中，c1、c2 為任意常數）dx (A) y = c1 + c2 e x − 6 xe x (B)

11 下圖顯示一串聯 RLC 電路，其輸入電壓為 E (t ) = E0 sinϖ t ，串聯電流為 I(t)。描述此電路之二次1 微分方程式為 。試求出 a 及 b 值。 (A) (B) (C

12 假設二次微分方程式 y ′′ + a y ′ + by = 0 之通解為 A cos 2π x + B sin 2π x ，其中 A 及 B 為任意常數，試求出 a 及 b 值。 (A) a =

13 z = 1 + i ，則複數對數 ln z 為何？（選項中 n 為整數） (A) (B) (C) (D)

14 令矩陣 ，若有一可逆矩陣 Q 與一對角矩陣 D 滿足 A = QDQ−1，試問 D 可為何？ (A) (B) (C) (D)

15 求 cosh(at)cos(at)之拉普拉氏轉換（Laplace transform）為下列何者？ (A) (B) (C) (D)

16 假設週期函數 f (t ) = t 2 ， − 1 ≤ t

17 試求 * cos 10 t 為何？其中*表示迴旋積分（convolution integral）。 (A) (B) (C) (D)0

18 6 位老師被分配教授「工程數學」課程的 4 個章節，如果每位老師最多分配一個章節，有幾種分配方式？ (A)90 (B)180 (C)240 (D)360

19 設離散隨機變數（random variable）X 和 Y 的聯合機率密度函數（joint probability density function）為f X , Y ( x, y) = 0.1

20 某隨機變數 X 之期望值 E[X ] = 1，變異數 Var[X ] = 2，則 E[(1 + X ) 2 ] =？(A)3 (B)5 (C)6 (D)12

7 下列那一個是適合的積分因子 （ integrating factor ） ， 乘上它以後 ， 將使微分方程式(x+y)dx+xln(x)dy=0變成正合（exact）？ (A)x (B)3 (C)

8 微分方程式 ，其中 y(0) = 2, y'(0) = 6 。以拉普拉斯轉換（Laplace transform）求解後得到 ，則下列何者錯誤？ (A)a+b+c+d=15 (B)a+

9 設 為函數f(x)=x3， 之傅立葉級數（Fourierseries），其中 為常數，下列何者正確？ (A) (B) (C) (D)

13 令連續二維隨機變數 X 和 Y 具有機率密度函數 ，求其機率P(x>0.25Y>0.5)。（其中 k 為常數）(A) (B) (C) (D)

19 令一曲線 C 為 x = t 2 , y = -t , z = t 2 , 0 ≤ t ≤ 1 ，則 =？ (A) (B) (C) (D)

20 下表所示為 x 及 y 機率質量函數（probability mass function, PMF），則 X 與 Y 之共變異數COV(X,Y )=？ (A) (B) (C)-1 (D)1

1 試求聯立微分方程式 之通解？(A) ，其中c1，c2為常數(B) ，其中c1，c2為常數為常數(C) ，其中c1，c2為常數 (D) ，其中c1，c2為常數

6 試求向量場 v = sinh( x − z )i + 2 yj + ( z − y 2 )k 的散度（divergence）：(A) cosh( x − z ) + 3 (B) cosh( x −

7 u = i − 2 j + k , v = −i + 3j − 2k 為兩個三維向量，以下那一個是 u × v ？(A)向量 w = i − j + k (B)純量 3(C)純量 1 (D)向量

17 求 之值為何？ (A) (B) (C) (D)

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