工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)

13 已知週期為 1 的函數 ，欲將 f (x)展開成f (x)= ，試問 bn為何？

14 有一函數 ，求 F(x)的傅立葉轉換（Fourier transform）

15 微分方程式 x(1− x) y′′ + [c − (1+ a + b)x] y′ − aby = 0 稱為 hyper-geometric 方程式，其中的a, b, c為常數。則 x = 0 是

16 令 z 為任一複數且 z ≠ 0 ，則下列敘述何者為真？

17 令 f ( )z = (1− x)3 + i y3 ，其中 z = x + i y為複數（complex number）， 。則下列敘述何者正確？(A)對於複數平面上任何一點 z ， f �

15 已知二維位能函數（potential function）滿足 Laplace’s 方程式 ，今考慮一長方形邊界問題 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b，其邊界條件為u(0, y) = 0,

18 若 ？(A)760 +100√3 (B)760 +128√3 (C)765 +100√3 (D)765 +128√3

16 2xy2-3+(2x2y+4) 的解為 ax2y2+ bx + cy = k ， k 為任意常數，求 a + b + c = ？(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8

19 設一隨機變數（random variable）X ，其期望值（mean value）E[X ] = 2，均方差（variance） 。令Y = 2X + 3，則 之值為何？(A) 27 (B)

20 在某一個車站，公車到站的時間是隨意分布在上午 10 點到 10 點 50 分之間。一個乘客在上午 9 點 55 分抵達車站，一直等到 10 點 10 分都沒有公車。從現在開始算，20 分鐘之內公

17 設隨機變數 x 為連續的，且其機率密度函數為 ，求條件機率 ) 。(A)5/108 (B)5/36 (C)5/12 (D)5/6

18 已知機器 A, B, C 分別生產全部產品之1/2 , 1/3 , 1/6 ，又機器 A, B, C 生產之產品不良率為 2%, 3%, 4%，則從所有產品中取一產品，問取中不良產品之機率為何

19 給定一個連續隨機變數 X ，它的期望值（mean）為4，變異值（variance）為1。定義隨機變數Y 為Y = 4X − 2 ，則Y 的變異值為何？(A) 2 (B) 4 (C) 14 (D)

20 向量u = i − 2j + k 於向量v = 7i + 4j + 4k 之投影（projection）為何？(A)1/3 (B)19/9 (C)√6/2 (D) 3

1 下列何者為微分方程式y(5)－3y(4)+3y'''－y'' = 0 的一般解？

3 一個溫度計現在顯示 5℃，把它放入一個 22℃的房間內，一分鐘後溫度計顯示為 12℃，則需要多久後，溫度計顯示為 22℃左右？(A) 9.68 mins (B) 22.82 mins (C) 17

5 純量函數 f (x, y, z) = xyz 在點 P（－1,1,3）上，於向量 方向之方向導數（directional derivative）為何？(A) 11 (B) (C)37 (D)

6 下列何者是純量場φ（x, y, z）= x2+2y2+2yz於位置（1, 0,－1）之最陡降（steepest descend）方向？(A)（－2, 0,－2）T (B)（－1, 1, 0）T (

7 求 ，C表在z = 2 平面上的單位圓。(A) 2π (B) 4π (C) 5π (D) 6π

8 下列線積分中，何者與積分路徑無關？(A) 2xy2 dx + xydy + dz (B) sinh xz（zdx − xdz）(C) ye2zdy − ze ydz (D)− zsin xzdx

9 假設 ，則e A =？

10 矩陣 的秩（rank）等於多少？⎟ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

11 令λ1,λ2,λ3,λ4 為矩陣 之四個特徵值，則λ1+λ2+λ3+λ4+λ1λ2λ3λ4等於多少？(A) 0 (B) 1 (C) 4 (D) 16

12 已知 的特徵值多項式為P(λ)=－1+3λ－3λ2+λ3，則P(A)=？(A) 1 (B)－1 (C) 3 (D) 0

13 若u(t)表示單位步階函數（unit step function），則函數 f (t) = 2u(t) − 2u(t − π) + u(t − 2π)sint 的拉式轉換（Laplace tra

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