工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)

1 若向量 F = i + j+ k, G = i − j− k ，則下列向量何者與 F, G 線性相依（linearly dependent）？(A)i (B)j (C)k (D)i + j− k

2 在二維平面上，點（7, -4）到直線- 4x + 3y −10 = 0的距離為何？(A)10(B)20(C)30 (D)50

3 下列參數式（parameter representation）[x, y, z]中，何者代表橢圓？(A)[1, 2cost,－sint] (B)[－sint, cos2t, 1] (C)[2cos

4 二函數分別為 f = x + y − z 及 g = xyz，試求∇‧ ： (∇( fg))(A) 2( yz + xz − xy) (B) 2( yz + xz + xy) (C) yz + x

5 下列何者為正交矩陣（orthogonal matrix）？

6 令矩陣 ，矩陣 B 滿足 AB = BA，則矩陣 B 可為何？

7 令矩陣 ，有關其特徵值 λ及特徵向量（eigenvectors）x 何者錯誤？(A) λ = 5 (B) λ = 3 (C) (D)

8 令矩陣 A 為一66 ×18 之矩陣且其秩（rank）為 13，若有 m 個線性獨立（linearly independent）向量滿足Ax = 0 ，另若有 n 個線性獨立（linearly i

9 令 為一複數級數（complex series），若 zn ≠ 0 且已知 ，則下列敘述何者錯誤？(A)若 L ＜1，則此級數收斂 (B)若 L ＜1，則此級數絕對收斂（absolutely co

10 假設 C 為沿著逆時針方向繞圓周 z − 2i = 2 ，試求積分 為何？(A)0 (B)i (C) −i (D)-1

11 化簡後可得：(A)1+ 4i (B)1− 4i (C) −1+ 4i (D) −1− 4i

12 y′′ − xy′ + 2y = 0, y(0) =1, y′(0) =1以級數法解得 =？(A)0 (B)-1 (C)2 (D)1

13 滿足下列那種性質？其中 c 為實常數：(A)拋物線型 (B)橢圓型 (C)熱傳導方程式 (D)波動方程式

14 已知 ，求其所對應之反拉氏轉換（Inverse Laplace Transform）函數 f (t) ：

15 一函數 ，下列何者正確？

16 以級數 ，則其所得到的遞迴關係式（Recurrence relation）為何？(A)(n +1)an+2 + (n + 2)(n +1)an+1 + 4an = 0 for n = 2, 3,

17 下列何者為偶函數？(A) f (x) = x cos x (B) (C) f (x) = x5 − 5x3 (D) f (x) = sin x

18 自 中均勻且隨機（uniformly and randomly）挑出點(x, y)，令 ，試求當0 ＜ r ＜ 1時之累積分佈函數（cumulative distribution functio

19 一射手射擊一目標 4 次，每次射擊皆為獨立事件且命中之機率皆為 0.7，試求該射手非全部命中亦非全部不命中之機率為何？

20 給定一個離散隨機變數（discrete random variable）X，它的機率質量函數（probability mass function）為 則 K 之值為何？(A)1/2 (B)2/3

1 求出路徑 C 之單位切線向量（unit tangent vector），其中C : x = cos(t) + tsin(t)，y = sin(t) − t cos(t) 及  z = t 2：(A

22 求力向量F = i − ( y)j + (xyz)k ，使一質點沿曲線 由(0,0,0) 移至(1,−1,1)所做之功：(A)0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4

3設u(t), v(t), w(t) 為三向量函數，則下列何者錯誤？(A)(cv(t))′ = cv′(t) （c 為一常數） (B)(u(t) + v(t))′ = u′(t) + v′(t)(C)

4 之散度（divergence）div F 為何？(A) (B) (C)  (D)

5 已知   ，且 X -1AX = D ，其中 D 為對角矩陣，求det(A100 ：(A)  5100 (B)5 101  (C)5 100+ 4100    (D)0

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