工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)

16 若 之解，且m ≠ n，則 m + n 之值為何？其中 a,b,m,n 為常數， ， 。(A)-4 (B)-3 (C)1 (D)4

17 連續隨機變數 X,Y,Z 之結合機率密度函數（joint probability density function）為 ，c 值為何？(A)1 (B)2 (C)4 (D)8

18 某工廠有 3 台機器 B1, B2, B3分別生產 30%、45%和 25%的產品。已知 3 台機器的產品中分別有 2%、3%和 2%的瑕疵品。假設現在任意選取一個產品，它是瑕疵品的機率為何？(

19 假設隨機變數 X 的機率密度函數（probability density function）為 f(x)及累積分布函數（cumulative distributionfunction）為 F(x

20 若 μ(x, y) 為微分方程式 的積分因子（integrating factor），則 μ(x, y) 須滿足下列何種條件？(A) (B) (C) (D)

1 下列向量集合何者為線性相依（linearly dependent）？（選項中 T 代表轉置（Transpose））(A){(1,1,1)T,(1,1,0)T,(1,0,0)T} (B){(1,1,

2 試問向量 於一子空間 Span 之正交投影（orthogonal projection）向量為何？(A) (B) (C) (D)

3 假設 A ∈ R 3×3 ， B ∈ R 3×3 ，且 I 為三階單位矩陣，已知⎥ A⎥ = −4 ，⎥ B ⎥= 6 ，請問 ＝？ (A)12 (B)48 (C)192 (D)768

4 假設矩陣 A = ，則下列何者正確？(A)A 為正交矩陣（orthogonal matrix） (B)A 的反矩陣不存在 (C)A 的行列式值 ⎥A⎥ = 2 (D)A 為奇異矩陣（singula

5 A= ，求 rank ( A) = ？ (A)3 (B)4 (C)1 (D)2

6 f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + 3 x22 + 6 x32 − 2 x1 x2 + 2ax1 x3，當 a 為下列何值時 可使得 ( x1 , x2 , x3 ) ≠ (0,

7 下列何者為複數函數 e z = 1 − i 的根？其中 。 (A) (B) (C) (D)

8.假設路徑 C 為一逆時針方向的圓形封閉路徑的邊界，其數學定義式為 ，求 之值C 為何？ (A)0 (B) 2π i (C) − 2π i (D) 4π i

9 假設積分路徑是所標示的積分上下限之間的任意軌跡，求 的值為何？ 1− i 1+ i (A)1 (B) (C)0 (D)

10 函數 f (t ) 之拉氏轉換（Laplace Transform）為 F ( s ) = L[ f (t )] ，若 f (t ) = 2e −3t cos 4t ，則下列何者正確？  (A)

11 求解微分方程 y ′ = 2 y + 2 x ，其解為： (A) (B) (C) (D)

12 求 x′ + 2 y ′ − y = 0 ， x′ + y = e −t ， x(0) = y (0) = 0 之解：  (A) (B) (C) (D)

13 試求反拉氏轉換（Inverse Laplace Transform） ? (A) 2 cos 3t − 3sin 3t (B) 2e −3t cos 3t − 3e −3t sin 3t (C)

14 求 之通解？（選項中 c 為任意常數）(A) (B) (C) (D)

15 求偏微分方程式 u xy − 2u x = 0 之解？（選項中 k1 ( y ) 為 y 的函數， k 2 ( x) 為 x 的函數）(A) ∫ (B) (C) ∫ (D)

16 給定一偏微分方程式為 ，且 ，試問當 x = 1 ， y = 0 時， u ( x, y ) = ？ (A) (B) (C) (D)

17 令 y (t ) 為 微 分 方 程 式 之 解 ， 其 中 y (0) = y ′(0) = 0 。 若 為 y (t ) 之拉氏轉換，其中 a，b，c，d，e 為常數，求 a + d 值

18 對於隨機變數 X ，以下期望值與變異數的性質何者錯誤？其中 k 為任意常數：(A) E[X + k ] = E[X ] + k (B) Var[kX ] = kVar[ X ] (C) Var[

19 連續隨機變數 X 與 Y 之結合機率密度函數（ joint probability density function ）為 ，試求 P ( X ≤ 2Y ) ？(A)0.25 (B)0.5 (C

20 兩離散隨機變數 X、Y 之結合機率 P( X = x, Y = y ) 如下表，則協方差（covariance） Cov ( X , Y ) = ? (A)0.2 (B)0.3 (C)0.4

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