工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)

9 令  則下列何者正確？ (A)f(0)=2/9 (B)f(π)=1/9 (C)f(2π)=1/9 (D)f(3)=0

11 若 f (t)的拉式轉換（Laplace transform）為 則f(0+)= ？(A)1/2 (B) 1 (C)3/2 (D) 3

12 下列何者為奇函數？(A) f (x) = x4 (B) f (x) = cos x (C) f (x) = ex + e−x (D) f (x) = tan 3x

11 假設一隨機變數 X，其動量產生函數（moment-generating function）為 ；試問此隨機變數 X 的期望值（mean）為何？ (A) 1 (B) 3 (C) 6 (D) 9

8 假設一複變函數 ，試問當 z 趨近於零時， f (z) 之極限值（limit）為何？(A) 0 (B) 1 (C)-1 (D)不存在

9 若 v = x2yi − z3j + 2k ，∇2v 等於：(A) 2yi + 6zj (B) 2yi − 6zj (C) − 2yi + 6zj (D) − 2yi − 6zj

18 有一個旋轉角錐體的表面方程式描述為 z2-5(x2+y2)=0，求其表面上一點(1,2,5)的單位法向量為何？

10 f (t)是週期為 8 的函數，在0 ≤ t

12 假設隨機變 數 X 為一個標準常態分布（ standard normal distribution ），亦即µX= 0 及 ；已知機 率P(X > 1.84) = 0.0329，試求機率P

13 兩連續隨機變數 X, Y 之結合累積分配函數（joint cumulative distribution function）為 FX ,Y (x, y) ， x, y ∈ R，則下列何者不恆真？

14 若一系統由二項獨立（independent）運作之組件構成，在任一組件正常運作下該系統即可正常運作，已知此二項組件正常運作之機率分別為 0.8 及 0.4，試求此系統正常運作之機率？(A) 0.

15 若u = (u1,u2 )，v = (v1,v2 ) ，下列函數何者可以定義為 R2上之一種內積（inner product）？(A) 〈u,v〉=u1v1(B)〈u,v〉= u12v12 +

16 設 A、B 及 C 為任三n × n矩陣，則下列敘述何者不恆真？（答案選項中 0 為零矩陣）(A)若 rank A = n 且 AB = AC，則 B = C (B)若 rank A = n 且

17 若S為[ 1 2 1 0], [0 0 0 1]所生成之子空間，求R4 ]上S之正交補集（Orthogonal Complement）：(A)由[ − 2 1 0 0], [−1 −1 1 0

10 若 A，B，C，D 之座標分別為(-1,2,2)，(0,1,1)，(-4,6,8)，(-3,-2,4)，則以 為三邊之平行六面體的體積為：(A) √12 (B) 12 (C) √18 (D) 1

11 讓ϕ(x, y,z) = xy − yz + xyz，其在點 P = (0,−1,1) 最陡變化方向（gradient）為何？(A)2i − j + k(B) i + 2j − k(C) 2i

19 下列何者為微分方程式 y' =(x - y +1)2+ x - y 之通解？其中 c 為任意實數。

13 週期為2 π 的週期性函數 ，其傅立葉級數表示成 則下列何者正確？ (A) a0=π/4 (B) an =1/n(C)bn = 0 (D) a0=π/2

18 若矩陣 ，則下列何者正確？(A)假如 a = 8 則 rank [A] = 2，rank 為矩陣之秩數(B)假如 a = 8 則 rank [A] = 3，rank 為矩陣之秩數(C)假如 a

19 下列矩陣那一個不為正交（orthogonal）？

12 若矩陣 及 ，求A6-3A5-4A4+13A3-3A2-3A+13I(A) A2+A+I(B) A+I(C) A2+2A+i(D)A2+A

20 現已知 ，其中 C 表示單位圓（unit circle） z = eiθ，(-π ≤ θ ≤ π ) 。請利用此結果來計算 (A) 2π (B) π (C) 0 (D) - π

11 現已知  ，其中 C 表示單位圓（unit circle） │z│= 1，逆時鐘方向（counterclockwise）。請利用此結果來計算  ？

14 將 化簡成單一級數表示，則下列何者正確？ +

20 下列何者為微分方程式 之通解？(A)3x2y − xy3 + 2y2 = c ，其中 c 為常數 (B)3x2y − xy3 + 2y2 + x = c ，其中 c 為常數(C)2y2 − 2x

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