工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)

15 給定一個連續隨機變數 X，它的機率密度函數為  則  eX 的期望值（mean）為何？(A) 0 (B) 1/100 (C) 1/10 (D) 10/9

8 f (t)是週期為2π 的函數，定義 g(t)為 ，將 g(t)的傅利葉級數（Fourier series）表示成 。下列敘述何者正確？(A)an = 0, n = 1,2,3,... (B)bn

4 假設 ，求   方向之單位向量為何？

16 有一週期函數  f (x) = ex ，其中− π

17 下列何者為(cos y + y cos x)dx + (sin x − xsin y)dy = 0之解？(A) y cos x + xsin y = c (B) xcos y + ysin x

18 令向量 則u ⋅(v × w)等於？(A) 4 (B) 6 (C) 10 (D)-20

9 矩陣 的零空間（null space）可以向量形式 αv1 + βv2 表示，其中α 及 β 為常數，則下列何者正確？

5 下列敘述何者正確？ (A)如果 A 是赫米特矩陣（Hermitian matrix），並且 A2= I，I 是單位矩陣，則 A 也是么正矩陣（unitary matrix） (B)赫米特矩陣的行列

6 試求微分方程式 x2 dy −  2ydx= −( y2+2x)dy     之通解，其中 c 為任意實數。(A) y = 2cos − 1(x / y)   + c  (B) y =2cot−1

19 求微分方程式        y′′ + 5y ′ + 6y = 3e−2x  +e3x  的特解（particular solution）？

20 設某一圓可表為F(θ ) = 3cos(θ )i + 3sin(θ )j + k，則此圓之曲率（curvature）為何？(A) 0 (B)1/3 (C) 1 (D) 3

10 設 ；當 A 的特徵值（eigenvalues）為 λ1 =4λ2 =7時，a = ? b = ?(A)a = 11, b = 28 (B)a = 11, b = −28 (C)a = 28,

11 假設 x 是常態分配（normal distribution），其機率密度函數為 N(0,1) ，且 P(x ≤ −0.43) = 1/ 3， P(x ≤ 0) =1/ 2 。今有 y也是常態分

12 給定三個獨立（independent）的隨機變數 X，Y，Z，每一個隨機變數的期望值（mean）都是 µ ，變異值（variance）都是σ2。定義隨機變數 W 為W = (X + Y + Z)

7 計算 之值，其中 C 表示一個正方形，其邊線通過點(±2, 0)及(0, ±2)，逆時鐘方向（counterclockwise）。(A)π (B) 0 (C) i2π (D) iπ

8 若一系統之轉移函數為G( s)  =  1/[s2 + 3s +2   ]   且輸入信號為 x(t) = sin 2t ，則輸出信號 y(t)之拉氏轉換 Y(s)為： (A) s/[(s +1 

9 下列何者與 L{f (t)u(t − a) }  相等，其中 L{•}代表拉氏轉換（Laplace Transform）？(A)e −as L{ af (t)}  (B)e−as L{df (t)

10 若微分方程式 y′′ − 4y′ + 4y = 25sin x 且 y(0) = 3、 y′(0) = 2，試求其解？ (A) y= e 2xe +2xe 2x  + cosx     (B)

13 有一個週期為2π 的函數 f (x) = x2 ，−π ≤ x ≤ π ，用傅立葉展開方式求 等於下列何值？(A)π/6 (B)π2/6 (C)π/2 (D)π/3

11 下列那一函數滿足 Laplace 方程式  ？ (A)u = sin x cos y (B)  u   = tan−1 ( y/x  ) (C)  u = x2 + y2 (D)u = sinh

12 f (t) 是週期 2π的函數， 在 −π ≤ t

13 給定一個連續隨機變數 X，它的機率密度函數為  ，則條件期望值 E(X | X ≤ 6)為何？(A) 3.0 (B) 5.0 (C) 6.0 (D) 10.8

14 將 F(x) = x2, 0 < x < 2π ，展開為傅立葉級數，當週期為2π 時， ，則 bn =？

14 二維隨機變數 X 與 Y 的聯合機率密度函數（joint probability density function）為   。則   X2 +Y2

15 求 之值為何？(A)1/4 (B)1/3 (C)1/2 (D) 1

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