工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)

3 拋物面 S：y = x2 ,     0≤ x ≤ 2, 0 ≤ z ≤3  之面積為：

4 下列何者是點（1,-4,-3）到平面2x − 3y + 6z = −1的距離？(A)1/7 (B)2/7 (C)3/7 (D)4/7

6 設 ；若 a+b=c+d且 是 A 的一個特徵向量（eigenvector），則 A 的特徵值（eigenvalues）為何？

2 設微分方程式 y′′ + ay′ + by = 6x + 5， y(0) = y0， y′(0) = y′0的解 y(x)的拉氏轉換為 試求常數a、b、 y0 及 y0′ 之值，並判定下列何者正確

15 下列敘述何者正確？(A) 如果矩陣 AB= 0，則矩陣 A = 0，或矩陣 B= 0，或 A = B= 0(B) 如果矩陣 的第一列（row）與第三列相同，則矩陣 AB 的第一列與第三列也相同，

5 令矩陣   ，若 A 不可逆，則 a 必為何？(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0

7 令矩陣 則行列式│A│等於? (A)12 (B)24 (C)36 (D)48

3 對微分方程式的初始值問題（initial value problem） ， y(−2) = 1， y′(−2) = 2可以確定的是 x 在下列那一區間可保證有唯一解？(A)− ∞ < x &

4 函數 f (t)之拉氏轉換（Laplace transform）為 L{f (t)}，令 F(s)= L{e2tcos3t} ，則 F(3)等於何值？(A) 1/10 (B) 3/10 (C)

19 欲從一 52 張之標準撲克牌中抽出 5 張牌，試求 5 張牌皆為同一種花色（suit）之機率，若該機率為 ，其中 (A)58 (B)57 (C)28 (D)19

20 一離散隨機變數（discrete random variable）X 均勻（uniformly）分布於{1,2,3,...,10 }，令 Y 為事件 X ≤ 5之指標（indicator）隨機變

6 設  ；則下列敘述何者正確？ (A)(A + B)的特徵值（eigenvalues）等於 A 的特徵值加上 B 的特徵值 (B) AB 的特徵值等於 BA 的特徵值 (C) AB 的特徵值等於 A

8令 ,則f(1)等於多少？ (A) 1 (B)1− 2e−1

5 解微分方程式 其中 y(0) = 3：

9 設u(t) 為單位步階函數，則以下何者為此迴旋積（convolution）u(t − 3)*e−2t的結果？

6 複變函數 以 0 為中心展開的羅倫（Laurent）級數中 z2 的係數為何？(A) 0 (B)1/2 (C)−1/24 (D) -1/120

16 令 X、Y、Z 與 W 皆是 R3 的子空間（subspace）。X 是由向量 擴展而成，Y 是由向量 擴 展 而 成 ， Z 是 由 向 量 擴 展 而 成 ， W 是 由 向 量 擴展而成。

7 若 g(t) 是定義在 [0,∞) 的週期函 數 且 g(t + T) = g(t) ，則可以證明 g(t) 的 拉 式轉換（ Laplace transform ） 為  給定   且 f (t

8 下列那些為z2+(2i-3)z+5-i=0之解？① z = 2 − 3i ② z = 1+ i ③ z = 2 + 3i ④ z = 1− i(A)①② (B)①②③ (C)①②④ (D)①②③④

10 f (t) 是週期為2π 的函數，定義 g(t) 為 g(t) = ( f (t) + f (−t))/ 2 ，將 g(t) 的傅立葉級數（Fourier series）表示成 下列敘述何者正確

7 請計算(1+ i)i 之值，其中i =√ −1 ：

8 若u = 2i + j + k 、 v = i + j + 2k 及w = i + j，則(u − v)× w 為何？(A)i − j + k (B)i + j − k (C)2i + j − k

9 設ϕ (x, y,z) = y − 2x2z + z3，而 F 為ϕ (x, y,z)的最陡方向（Gradient），則 F 在從P1 =(1, 1, 1)到P2 =(3, 1, 4) 直線的線積

10 試求向量場 v = 2xyi + xe yj + 2zk 的旋度（curl）？(A)(e y − 2x)i (B)(e y − 2x)k (C)(e y − 2x)j (D)(ey −2x)

17 將函數 f (t) = (cos(5πt))3的複數傅利葉級數（complex Fourier series）表示成 ，其中i = √-1 。求eit5π 的係數 c1之值為何？(A) 3i /

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