工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)

1 試求初始值問題（initial value problem）的解： y" + y = t ; y(0) =1; y'(0) = 0 。(A) y(t)＝t＋sint-cost

12 已知  的特徵值多項式為P(λ)=－1+3λ－3λ2+λ3，則P[A}=？(A) 1 (B)－1 (C) 3 (D) 0

17 若 ，求在 v (1,−1,1)位置之 的值各為何？

18 試求微分方程式2ydx + (3y − 2x) dy = 0之通解？（其中 c 為任意實數）(A)2x / y + 3ln y = c (B)2x / y + 3ln x = c (C)2y /

2 y(t) 之拉氏轉換（Laplace transform）為 ，其中 u(t) 為單位步階（unit step）函數，則 y(t) = ？

13 若u(t)表示單位步階函數（unit step function），則函數 f (t) = 2u(t) − 2u(t − π) + u(t − 2π)sint 的拉式轉換（Laplace tra

14 設A, B, P皆為n階方陣，且P可逆。令B = P-1AP，則下列敘述何者錯誤？(A) A 與 B 的特徵值皆相同 (B) A 與 B 的行列式相同 (C) A 與 B 的秩（rank）相同

3 下列何者可為微分方程式y′=e−2x之解？

19 計算∫∫s 之值，其中 (A) 2π (B) π (C) 2 (D) 0

20 下列何者為微分方程式 y′ = e2x+ y−1 − 2 之通解？（其中 c 為任意實數）(A) y = 1− 2x − ln (c − x) (B) y = e1−2x + c (C) y =

1 有一微分方程式 y′′ + 0.2y′ + 4.01y = 0 , y(0) = 0 , y′(0) = 2 ,下列何者為其解？(A) y=e0.1xsin(−2x) (B) y=e0.1xs

15 試求函數  的逆拉式轉換（inverse Laplace transform）。

4 下列何者可為微分方程式 之解？

5 下列何者錯誤？(A)y′′ +4y′+3y=0 是線性微分方程式(B) y′ +2x3y= xy 是白努利（Bernoulli）方程式(C) 2sin(y2) dx+ xycos(y2) dy =

6 試求函數 f(t)= t sin2t之拉氏轉換（Laplace transform）：

7 下列選項何者為ez = 2i的一解，其中 i =√−1 ：(A)i ln(2)(B) ln(2)+i(3/2)π (C) ln(2)+i(5/2)π (D)ln(2)+(7/2) π

16 有一個週期為 6 的函數 f (x)，其在 x∈（1,7）內之函數值為 下列何者是該函數的傅立葉級數？

17 級數  的收斂半徑（radius of convergence）為何？(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)∞

8 複變函數 對2i展開的泰勒級數（ Taylor series）為何？其中 i =√−1 。

18 有一振動方程式utt = c2uxx ，其中   ，若將其自變數 t, x 變換為 v=x+ct，z=x－ct，則可將原偏微分方程式轉換為：(A)uvv = uzz (B)uvv = uz (C

19 z 是一個複數（complex number），z = x+iy，x 與 y 皆為實數，則下列敘述何者正確？(A) 0 ≤ | sin z | ≤ 1 (B)| sin z | ≤ | sin

20 設x為連續隨機變數，其機率密度函數為 求其Moment-generating function  (A) 1－t3 (B) 1－t2 (C) 1－t (D) 1/ (1－t2)

9 已知 下列函數φ(x,y,z ) 何者滿足 ？

10 給定曲線 4x2+y2 = 4 ，z=−√3x ，則點 P (1,0,−√3)至點Q (-1,0,√3)之總長度為何？(A)π (B) 2π (C)3π (D) 4π

2 下列那一個是ln(-1+ √3i)的解？(A) ln 2 + iπ/3(B) ln 2- i2π/3(C) ln 2- i4π/3(D) ln 2 - iπ/3

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