工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)

12 若有一位置向量（position vector）F＝3ti −2j+t2k，下列何者為其單位法線向量（unit normal vector）？

4 i =√ −1 ，下列那一數列（sequence）為發散數列？

13 令矩陣 ，矩陣B滿足B2=A，則B的二個特徵值（eigenvalue）之和為何？(A) 0 (B) √3 (C) 1 (D) 3

5 若δ (t) 是單位脈衝函數，試求拉氏轉換（Laplace transform） 為：(A)e−(s+2) (B)e−2(s+2) (C)e−s+2 (D) e−2(s+1)

14 若M是一個方陣（square matrix），且M6＝M，以下何者不可能是M的特徵值（eigenvalue）？其中i =√−1。(A) 0 (B) 1

15 A＝[1, 2], B＝[1, 2, 3]T，則下列運算何者有定義？(A)ABT (B)ATB (C)BTA (D)BA

6 試求反拉氏轉換 ：(A)cos 2t (B)t sin 2t (C)e−t cos 2t (D)e-tsin2t

7 給定一個連續隨機變數 X，它的機率密度函數為 其中− ∞ < x < ∞，則 K 之值為何？(A) 0.05 (B) 0.10 (C) 0.20 (D) 0.40

8 求解 =？ (A)−1/ 4 + i √3 / 4 (B)−1/ 4 − i √3 / 4 (C)− √3 / 4 + i / 4 (D) √3 / 4 + i / 4

16 若 A、B 為 2×2 之方陣，且 、BA＝2B+2I，I 為 2 ×2 之單位矩陣，則 B＝？

9 下列何者為 y′ − y = 0, y(0) = 1之解？

17 考慮一 3×3 的矩陣 M，若其行列式值（determinant）為 2，請問矩陣 的行列式值為何？(A) 1 (B) 8 (C) 64 (D) 256

18 十元錢幣 2 枚，其一擲出後人像向上之機率為1/10 ，另一枚則為1/2 ，若自此 2 枚錢幣隨機挑選一枚然後擲出 2 次，試求擲出 2 次皆為人像之機率：(A)13/100 (B)3/10(C

10 函數 在 z = 0的餘數（residue）為何？(A) 1 (B)-1/2 (C) 0 (D) 1/2

11 下列敘述何者正確？(A)如果 A 與 B 皆是可對角化（diagonalizable）矩陣，則 A+B 也是可對角化矩陣(B)如果矩陣A是正交（orthogonal）矩陣，則A3也是正交矩陣(C

2 三維隨機變數 X，Y 與 Z 的聯合機率密度函數（joint probability density function）為 ⎩⎨⎧ ≤ ≤ ≤ =−otherwisee x y zf x y zz

3 假設 f (x) =1，當0 ≤ x ≤ 5，則 f (x) 的傅氏（Fourier）級數展開式為∑∞=−1 − ] 5(2 1) sin[ (2 1)4nn xnππ，則下列恆等式，何者正確？(

4 將函數 3 41z − z以 Laurent 級數展開得 ∑∞=+− = − 03 4 41 1nn z z z，其收斂區間為：(A) z > 0 (B)0 1 (D) z ∈C

5 試求反拉氏轉換（inverse Laplace Transform） {(3 2)/[( 1) 1] } 1 2 2 + + + − L s s 。(A)e t cost e (cost tsin

6 若 f (t) 之拉氏轉換（Laplace Transform）為 ( ) 5 /[ ( 2)] 2 F s = s s + s + ，則lim ( ) 0 f tt→ 為：(A) 5/4 (B)

7 試求微分方程式 之通解，其中c1，c2為任意實數。(A) y c1x c2x 2 = + (B) y = c x + c x ln x + x 2 21 2 (C) y = c1x + c2x l

8 若 ( ) ( 3 2)[ ( 1) ( 2)] 2 g t = − t − t + u t − − u t − ，試求其拉氏轉換（Laplace Transform）G(s)。(A) 3 2 3

9 假設一個矩陣 ，它的跡（trace of a matrix）是 10，而其行列式（determinant）值是 24，則此矩陣的特徵值（eigenvalue）為何？(A)12 + 134 ，12

10 下列敘述何者正確？(A)如果 Q 是一個正交矩陣（orthogonal matrix），λ 是 Q 的一個特徵值（eigenvalue），則 λ = 1(B)如果向量 x 與向量 y 互相正交（

11 令 ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ = 012 41 3A ，則下列何組之向量可構成矩陣 AT的值域空間（range space）？(A){(1,0)T,(0,1)T} (B){(1, −2),(0,1)} (

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