工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)

11 令向量 (A)− 6 (B)0 (C)2 (D)10

3 f(t)是週期為 4 的函數，在- 2 ≤ t ≤ 2之間定義為 f(t)＝t2 。將 f(t)的傅利葉級數（Fourier series）表示成 求 a0之值為何？(A)10/3 (B)8/3

4 計算線積分 其中 C 表示一個三角形邊線，該三角形的頂點 P1(1,0,0)，P2(0,1,0)，P3(0,0,1)，C 的方向從 P1到 P2到 P3。(A)1/2 (B)1 (C)3/2 (D

5 試求 y" - 3y' + 2y = ex之解，其中 c1, c2為任意實數。(A) y=c1ex+c2e2x(B) y=c1ex+c2e2x-ex(C) y=c1ex+c2e

12 下列何者為聯立方程式 之最小平方解（Least squares solution）？

6 下列何者不是微分方程式 的通解的其中一項？(A) e-x(B)ex (C)e2x (D)e-2x

13 (A)1/23(B)1/46 (C)46 (D)23

2 令 c 是從(1,1,1)到(0,1,3)的直線線段，則 等於多少？(A)1/6 (B)3/2 (C)−1/2 (D) 1

3 下列何者是微分方程式 y′ + y = x / y的解，其中 c 為任意實數？(A) y = x2 − 0.5 (B) y2 = ce−2x + x − 0.5 (C) y = ce−2x + x

7 定義函數 f(t)的傅利葉轉換（Fourier transform）為 其中i =√ -1 。求 f(5t)的傅利葉轉換為何？

4 下列何者矩陣是列梯型（row echelon form）？

14 設 則 A 的簡化列梯形式（reduced row echelon form）為何？

8 二維隨機變數 X 與 Y 的聯合機率密度函數（joint probability density function）為 則 XY 的期望值（mean）為何？(A) 1 (B) 15/4 (C) 1

9 給定一個離散隨機變數（discrete random variable）X，它的機率質量函數（probability mass function）為 則 X 為偶數的機率為何？(A) 1/3 (

15 設 是 R3中的向量，試問下列那一個向量可以表示為v1,v2,v3 的線性組合（linear combination）?

10 級數（series） 之收斂半徑（radius of convergence）R 為何？(A)R=1 (B)R=π/4 (C)R=1/e (D)R=∞

5 下列向量場 中，何者無旋量 ，且散度（divergence）最小？

11 令 則下列何者正確？(A) f (0) = 1 (B) f (1) = cos 4 (C) f (3) = 1 (D) f (π ) = 0

12 若一系統之轉移函數為 s/(s +1)2，則此系統之脈衝響應（impulse response）為：(A)e-2t-e-t(B) e-2t-e-t sin t(C) e-t-te-t(D)e-2

16 試計算 的主值（principal value， −π <θ < π ），其中 z=reiθ 。則下列何者正確？

13 若拉氏轉換（Laplace Transform） Y(s) = 1/(s +1)4，則 L-1[Y(s)]=y(t) =?

14 令 A 與 B 皆為 3×3 的矩陣（matrix），現已知 A 的行列式（determinant）值是 2，B 的行列式值是 5，且 △ = 3AB。則△的行列式值是：(A) 30 (B) 9

2 給定一個微分方程式 y′ + sin(x) y = 1− x，初始值為 y(π ) = −3，冪級數解（power series solution）為  則  (x − π ) 2的係數  c2 

17 若 為∇ gradient，f 為一純量函數，下列何者為圓柱體座標系(r,θ,z ) 上之∇f ？

18 令 X 與 Y 為均勻分布（uniform distribution）於[0,1 ]之二獨立（independent）連續隨機變數（continuousrandom variable），試求機率

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